Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int x^{-4} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{-4}\,dx e, em seguida, verificar a resposta por derivação. O conteúdo envolve a regra de potência para integrais e a operação de derivação de potências.

Passo 2

Para n\neq -1 vale a seguinte regra de potência para integração:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 3

Aqui temos n=-4. Aplicando a regra:
\int x^{-4}\,dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\tfrac{1}{3}x^{-3} + C = -\frac{1}{3x^{3}} + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos a função obtida como primitiva:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(-\tfrac{1}{3}x^{-3} + C\Bigr) = -\tfrac{1}{3}\cdot(-3)\,x^{-4} + 0 = x^{-4}.
Como a derivada coincide com o integrando, a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{1}{3x^{3}} + C

Exercícios relacionados