Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int(3 x+5) d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de \int(3x+5)\,dx e depois a verificação por derivação. O conteúdo necessário é a regra de potência para integração, isto é
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1)
e a regra para constante
\int a\,dx = a\,x.

Passo 2

Vamos integrar termo a termo:
\int 3x\,dx = 3\int x\,dx = 3\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2,
\int 5\,dx = 5x.

Passo 3

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x) = \frac{3}{2}x^2 + 5x + C.

Passo 4

Para verificar, derivamos F(x):
F'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3}{2}x^2\Bigr) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}\text{(C)} = 3x + 5 + 0 = 3x + 5,
que coincide com o integrando original.

Resposta

F(x) = \frac{3}{2}x^2 + 5x + C.

Exercícios relacionados