Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{3}}\Bigr)\,dx
e depois verificar o resultado por derivação. O conteúdo necessário é a regra da soma de integrais, a regra de potência para integração e a regra de derivação de x^n e de \ln|x|.

Passo 2

Separe a integral em duas partes e use a regra de potência:
\int\frac{3}{x}\,dx = 3\int x^{-1}\,dx = 3\ln|x|,
\int\frac{2}{x^{3}}\,dx = 2\int x^{-3}\,dx = 2\cdot\frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2}.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
F(x)=3\ln|x| - \frac{1}{x^{2}} + C.

Passo 3

Para verificar, derive F(x):
F'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(3\ln|x|\Bigr)+\frac{d}{dx}\Bigl(-x^{-2}\Bigr) = \frac{3}{x} + (-2)(-1)x^{-3} = \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{3}},
que coincide com o integrando.

Resposta

3\ln|x| - \dfrac{1}{x^{2}} + C

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