Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
\int\left(e^{4 x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int\bigl(e^{4x} + x^{-2}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a soma de integrais e vamos usar duas regras básicas:
  1. \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}.
  2. \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\bigl(e^{4x} + x^{-2}\bigr)\,dx = \int e^{4x}\,dx \;+\; \int x^{-2}\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int e^{4x}\,dx, aplicamos a regra do exponencial:
\int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x}.

Passo 4

Para \displaystyle \int x^{-2}\,dx, usamos a regra do poder:
\int x^{-2}\,dx = \int x^{n}\,dx\quad\text{com }n=-2,
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\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 5

Somando os resultados, a primitiva geral é
F(x) = \frac{1}{4}e^{4x} \;-\; \frac{1}{x} \;+\; C.

Passo 6

Verificamos por derivação:
F'(x) = \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{1}{4}e^{4x}\Bigr) - \frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr) = \frac{1}{4}\cdot 4e^{4x} - \bigl(-x^{-2}\bigr) = e^{4x} + \frac{1}{x^2},
que coincidir com o integrando original, confirmando a resposta.

Resposta

\frac{1}{4}e^{4x} - \frac{1}{x} + C.

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