Calcule o vetor Gradiente e a matriz Hessian de f(\mathbf{x})=100\left(x_{2}-x_{1}{ }^{2}\right)^{2}+\left(1-x_{1}\right)^{2}. Mostre que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é mínimo local dessa função usando o Gradiente e a Hessian.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(\mathbf{x}) = 100\bigl(x_{2}-x_{1}^{2}\bigr)^{2}+\bigl(1-x_{1}\bigr)^{2},
onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2})^{T}. O que é pedido:
  • Calcular o vetor Gradiente \nabla f(\mathbf{x}) (ou seja, todas as derivadas parciais de primeira ordem).
  • Calcular a matriz Hessiana \nabla^{2} f(\mathbf{x}) (ou seja, todas as derivadas parciais de segunda ordem).
  • Mostrar que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é um mínimo local dessa função, usando o Gradiente e a Hessiana.
Informações dadas (explicitadas):
  • A função é explícita em termos de x_{1} e x_{2}.
  • O ponto de interesse é \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T}.

Passo 2

Definições e ferramentas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • O Gradiente \nabla f(\mathbf{x}) é o vetor das derivadas parciais de f:
\displaystyle \nabla f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}}\\[6pt]\dfrac{\partial f}{\partial x_{2}}\end{pmatrix}.
Cada componente significa a taxa de variação de f quando apenas uma coordenada varia.
  • A Hessiana \nabla^{2}f(\mathbf{x}) é a matriz das segundas derivadas parciais:
\displaystyle \nabla^{2}f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}\\[6pt] \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} & \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} \end{pmatrix}.
  • Regra da cadeia (versão simples): se g(u)=u^{2} e u=h(x), então g'(x)=2\,h(x)\,h'(x). Vou aplicar isso a termos como (x_{2}-x_{1}^{2})^{2}.
  • Para verificar mínimo local: se \nabla f(\mathbf{x}^{*})=\mathbf{0} (ponto crítico) e \nabla^{2}f(\mathbf{x}^{*}) é definida positiva, então \mathbf{x}^{*} é um mínimo local estrito. Para matriz 2\times2, definida positiva pode ser testada pelos menores principais: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}>0 e \det(\nabla^{2}f)>0.]

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem (Gradiente). Vou derivar termo a termo.
Escrevo f(\mathbf{x}) = 100\,u^{2} + v^{2}, com u = x_{2}-x_{1}^{2} e v = 1-x_{1}.
  • Derivada em relação a x_{1}:
Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl(100\,u^{2}\bigr) = 100\cdot 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial x_{1}} = 200\,(x_{2}-x_{1}^{2})\cdot(-2x_{1}) = -400\,x_{1}\,(x_{2}-x_{1}^{2}).
Para o outro termo,
\frac{\partial}{\partial x_{1}}\bigl((1-x_{1})^{2}\bigr) = 2(1-x_{1})\cdot(-1) = -2(1-x_{1}).
Somando,
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}} = -400\,x_{1}\,(x_{2}-x_{1}^{2}) - 2(1-x_{1}).}
  • Derivada em relação a x_{2}:
O primeiro termo dá
\frac{\partial}{\partial x_{2}}\bigl(100\,(x_{2}-x_{1}^{2})^{2}\bigr) = 200\,(x_{2}-x_{1}^{2})\cdot 1 = 200\,(x_{2}-x_{1}^{2}),
e (1-x_{1})^{2} não depende de x_{2}. Logo
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 200\,(x_{2}-x_{1}^{2}).}
Portanto o Gradiente é
\boxed{\displaystyle \nabla f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} -400\,x_{1}\,(x_{2}-x_{1}^{2}) - 2(1-x_{1})\\[6pt] 200\,(x_{2}-x_{1}^{2}) \end{pmatrix}.}]

Passo 4

Cálculo das derivadas de segunda ordem (Hessiana). Vou derivar cada componente do Gradiente.
Usarei a forma expandida quando for conveniente. Primeiro reescrevo a componente \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} expandida para facilitar:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = -400x_{1}x_{2} + 400x_{1}^{3} -2 +2x_{1}.
Agora as segundas derivadas:
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}:
    Diferenciando a expressão expandida em relação a x_{1}:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}} = -400x_{2} + 1200x_{1}^{2} + 2.
(Explicando: \partial(-400x_{1}x_{2})/\partial x_{1} = -400x_{2}, \partial(400x_{1}^{3})/\partial x_{1}=1200x_{1}^{2}, \partial(-2)/\partial x_{1}=0, \partial(2x_{1})/\partial x_{1}=2.)
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}:
    Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} = -400x_{1}(x_{2}-x_{1}^{2}) -2(1-x_{1}) em relação a x_{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = -400x_{1}.
  • \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}:
    Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} = 200(x_{2}-x_{1}^{2}) em relação a x_{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = 200.
Como a função é duas vezes diferenciável, a Hessiana é simétrica e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=-400x_{1}.
Portanto a matriz Hessiana é
\boxed{\displaystyle \nabla^{2}f(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 1200x_{1}^{2}-400x_{2}+2 & -400x_{1}\\[6pt] -400x_{1} & 200 \end{pmatrix}.}]

Passo 5

Verificação de que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é ponto crítico (gradiente nulo):
Avalio o Gradiente em (x_{1},x_{2})=(1,1). Note que x_{2}-x_{1}^{2}=1-1=0. Então
\frac{\partial f}{\partial x_{1}}\Big|_{(1,1)} = -400\cdot1\cdot 0 - 2(1-1) = 0,
\frac{\partial f}{\partial x_{2}}\Big|_{(1,1)} = 200\cdot 0 = 0.
Logo \displaystyle \nabla f(1,1) = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}. Portanto \mathbf{x}^{*} é um ponto crítico.]

Passo 6

Avaliação da Hessiana em \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} e teste de positividade:
Substituindo x_{1}=1 e x_{2}=1 na expressão da Hessiana:
\displaystyle \nabla^{2}f(1,1) = \begin{pmatrix} 1200\cdot1^{2}-400\cdot1+2 & -400\cdot1\\[6pt] -400\cdot1 & 200 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}802 & -400\\[6pt]-400 & 200\end{pmatrix}.
Para verificar se essa matriz é definida positiva uso o critério dos menores principais (fácil de aplicar em 2\times2):
  • Primeiro menor principal (elemento 11): 802>0.
  • Determinante da matriz:
\det\bigl(\nabla^{2}f(1,1)\bigr) = 802\cdot 200 - (-400)^{2} = 160400 - 160000 = 400 > 0.
Como ambos os menores principais são positivos, \nabla^{2}f(1,1) é definida positiva.
Conclusão pela teoria: ponto crítico com Hessiana definida positiva implica que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é um mínimo local estrito de f.]

Resposta

\displaystyle \nabla f(\mathbf{x})=\begin{pmatrix} -400\,x_{1}\,(x_{2}-x_{1}^{2}) - 2(1-x_{1})\\[6pt] 200\,(x_{2}-x_{1}^{2}) \end{pmatrix}.
\displaystyle \nabla^{2}f(\mathbf{x})=\begin{pmatrix} 1200x_{1}^{2}-400x_{2}+2 & -400x_{1}\\[6pt] -400x_{1} & 200 \end{pmatrix}.
\displaystyle \nabla f(1,1)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \nabla^{2}f(1,1)=\begin{pmatrix}802 & -400\\[6pt]-400 & 200\end{pmatrix} (definida positiva), logo \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é um mínimo local.]

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