Calcule o vetor Gradiente e a matriz Hessian de f(\mathbf{x})=100\left(x_{2}-x_{1}{ }^{2}\right)^{2}+\left(1-x_{1}\right)^{2}. Mostre que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é mínimo local dessa função usando o Gradiente e a Hessian.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f(\mathbf{x}) = 100\bigl(x_{2}-x_{1}^{2}\bigr)^{2}+\bigl(1-x_{1}\bigr)^{2},
onde \mathbf{x}=(x_{1},x_{2})^{T}. O que é pedido:
Calcular o vetor Gradiente \nabla f(\mathbf{x}) (ou seja, todas as derivadas parciais de primeira ordem).
Calcular a matriz Hessiana \nabla^{2} f(\mathbf{x}) (ou seja, todas as derivadas parciais de segunda ordem).
Mostrar que \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T} é um mínimo local dessa função, usando o Gradiente e a Hessiana.
Informações dadas (explicitadas):
A função é explícita em termos de x_{1} e x_{2}.
O ponto de interesse é \mathbf{x}^{*}=(1,1)^{T}.
Passo 2
Definições e ferramentas que vou usar (explicadas de forma simples):
O Gradiente \nabla f(\mathbf{x}) é o vetor das derivadas parciais de f:
Regra da cadeia (versão simples): se g(u)=u^{2} e u=h(x), então g'(x)=2\,h(x)\,h'(x). Vou aplicar isso a termos como (x_{2}-x_{1}^{2})^{2}.
Para verificar mínimo local: se \nabla f(\mathbf{x}^{*})=\mathbf{0} (ponto crítico) e \nabla^{2}f(\mathbf{x}^{*}) é definida positiva, então \mathbf{x}^{*} é um mínimo local estrito. Para matriz 2\times2, definida positiva pode ser testada pelos menores principais: \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^{2}}>0 e \det(\nabla^{2}f)>0.]
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais de primeira ordem (Gradiente). Vou derivar termo a termo.
Escrevo f(\mathbf{x}) = 100\,u^{2} + v^{2}, com u = x_{2}-x_{1}^{2} e v = 1-x_{1}.
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}}:
Diferenciando \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} = 200(x_{2}-x_{1}^{2}) em relação a x_{2},
\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}^{2}} = 200.
Como a função é duas vezes diferenciável, a Hessiana é simétrica e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}=-400x_{1}.