onde a, b, c são parâmetros (constantes) fornecidos no enunciado.
O que se pede: reescrever esse problema na forma padrão (igualdades e variáveis não-negativas).
Informações relevantes extraídas:
Há três variáveis originais: x_{1},x_{2},x_{3}.
As três restrições são do tipo ``\ge’’ (maior-igual).
Não há indicação de que x_{1},x_{2},x_{3} sejam não-negativas; portanto cada x_{j} é, em princípio, variável livre (pode ser negativa).
O termo constante b na função objetivo é um termo independente de x.]
Passo 2
Decisão sobre a forma padrão a usar (e por quê). A forma padrão que vou adotar é a usual em programação linear:
ou seja: todas as restrições como igualdades e todas as variáveis não-negativas. Para chegar a isso é necessário:
transformar cada variável livre x_{j} em diferença de duas variáveis não-negativas;
transformar cada desigualdade em igualdade introduzindo variáveis de folga (slack) ou surplus conforme o sinal da desigualdade; eventualmente multiplicar por -1 para obter RHS positivo e facilitar a forma padrão.
Vou aplicar essas duas transformações passo a passo.
Passo 3
Transformação das variáveis livres em variáveis não-negativas. Para cada j=1,2,3 escrevo
x_{j}=x_{j}^{+}-x_{j}^{-},
com x_{j}^{+}\ge 0 e x_{j}^{-}\ge 0. Assim introduzo seis variáveis não-negativas:
Substituindo nas expressões, qualquer coeficiente multiplicará x_{j}^{+} com sinal direto e x_{j}^{-} com sinal invertido.
Passo 4
Tratar as desigualdades. As duas primeiras restrições são do tipo \ge; para \ge é comum subtrair uma variável surplus (que é não-negativa) para obter igualdade. A terceira restrição tem RHS negativo (-2); para obter RHS positivo e uma forma padrão simples vou multiplicar a terceira restrição por -1, transformando-a em uma desigualdade do tipo \le, e depois adiciono uma variável de folga (slack) não-negativa.
Introduzo:
surplus s_{1}\ge 0 para a restrição 1,
surplus s_{2}\ge 0 para a restrição 2,
slack t_{3}\ge 0 para a (multiplicada) restrição 3.
Agora escrevo cada restrição em igualdade, após substituir x_{j}=x_{j}^{+}-x_{j}^{-}.
Passo 5
Escrever as igualdades após substituições (cada fórmula está em termos das variáveis não-negativas). Ordem escolhida das variáveis não-negativas para montar o vetor \mathbf{z}: