Calcule o volume de uma célula unitária CFC em termos do raio atômico R .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da célula unitária CFC em termos do raio atômico
.
Informações relevantes dadas (ou implícitas na configuração CFC) que usaremos:
Informações relevantes dadas (ou implícitas na configuração CFC) que usaremos:
- A célula unitária é cúbica, com parâmetro de rede (aresta) igual a
. - Em uma face da célula há dois átomos centrados nos vértices opostos da face e um átomo no centro da face; ao longo da diagonal da face os átomos estão em contato (tocando).
- O objetivo final é expressar o volume da célula
em função de .
Passo 2
Entender a geometria da face da célula: cada face é um quadrado de lado
. A diagonal desse quadrado (diagonal da face) tem comprimento igual ao lado vezes
. Esta é uma fórmula básica de geometria do quadrado que vou explicar rapidinho: num quadrado de lado
, pelo teorema de Pitágoras, a diagonal
satisfaz
logo
Portanto, a diagonal da face vale
.
Passo 3
Identificar como os átomos estão posicionados ao longo dessa diagonal da face. Olhando para uma face, percorremos a diagonal passando pelo centro do átomo do vértice, depois pelo centro do átomo da face e depois pelo centro do átomo do outro vértice. Como os átomos são esferas idênticas e estão em contato, a soma das distâncias entre centros ao longo dessa diagonal é
: cada contato corresponde a
(do centro de um átomo ao ponto de contato) e há dois contatos sucessivos, totalizando
. Portanto o comprimento da diagonal da face também pode ser expresso em termos do raio como
Passo 4
Agora igualamos as duas expressões para a diagonal da face: a expressão geométrica
e a expressão em termos do raio
. Assim,
Passo 5
Isolamos
na equação anterior para obter o parâmetro da rede em função de
. Dividindo ambos os lados por
:
Simplificamos racionalizando mentalmente a constante:
. Portanto
Passo 6
Recordando a fórmula do volume de um cubo: o volume
é o cubo da aresta. Então, para a célula cúbica,
Substituiremos
pela expressão em função de
.
Passo 7
Substituindo
em
:
Vamos expandir passo a passo: primeiro calcule
:
Agora multiplica pela outra fator
:
Portanto