Calcule o volume de uma célula unitária CFC em termos do raio atômico R .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da célula unitária CFC em termos do raio atômico R.
Informações relevantes dadas (ou implícitas na configuração CFC) que usaremos:
  • A célula unitária é cúbica, com parâmetro de rede (aresta) igual a a.
  • Em uma face da célula há dois átomos centrados nos vértices opostos da face e um átomo no centro da face; ao longo da diagonal da face os átomos estão em contato (tocando).
  • O objetivo final é expressar o volume da célula V em função de R.

Passo 2

Entender a geometria da face da célula: cada face é um quadrado de lado a. A diagonal desse quadrado (diagonal da face) tem comprimento igual ao lado vezes \sqrt{2}. Esta é uma fórmula básica de geometria do quadrado que vou explicar rapidinho: num quadrado de lado a, pelo teorema de Pitágoras, a diagonal d satisfaz
d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2,
logo
d = a\sqrt{2}.
Portanto, a diagonal da face vale a\sqrt{2}.

Passo 3

Identificar como os átomos estão posicionados ao longo dessa diagonal da face. Olhando para uma face, percorremos a diagonal passando pelo centro do átomo do vértice, depois pelo centro do átomo da face e depois pelo centro do átomo do outro vértice. Como os átomos são esferas idênticas e estão em contato, a soma das distâncias entre centros ao longo dessa diagonal é 4R: cada contato corresponde a 2R (do centro de um átomo ao ponto de contato) e há dois contatos sucessivos, totalizando 2R + 2R = 4R. Portanto o comprimento da diagonal da face também pode ser expresso em termos do raio como
\text{diagonal da face} = 4R.

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões para a diagonal da face: a expressão geométrica a\sqrt{2} e a expressão em termos do raio 4R. Assim,
a\sqrt{2} = 4R.

Passo 5

Isolamos a na equação anterior para obter o parâmetro da rede em função de R. Dividindo ambos os lados por \sqrt{2}:
a = \frac{4R}{\sqrt{2}}.
Simplificamos racionalizando mentalmente a constante: \frac{4}{\sqrt{2}} = 4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}. Portanto
a = 2\sqrt{2}\,R.

Passo 6

Recordando a fórmula do volume de um cubo: o volume V é o cubo da aresta. Então, para a célula cúbica,
V = a^3.
Substituiremos a pela expressão em função de R.

Passo 7

Substituindo a = 2\sqrt{2}\,R em V=a^3:
V = \big(2\sqrt{2}\,R\big)^3.
Vamos expandir passo a passo: primeiro calcule (2\sqrt{2})^2:
(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8.
Agora multiplica pela outra fator 2\sqrt{2}:
(2\sqrt{2})^3 = (2\sqrt{2})\cdot 8 = 16\sqrt{2}.
Portanto
V = 16\sqrt{2}\,R^3.

Resposta

V = 16\sqrt{2}\,R^3

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