Calcule o volume do sólido dado:
Limitado pelo paraboloide z=x^{2}+3 y^{2} e pelos planos x=0, y=1, y=x \mathrm{e} z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide z = x^2 + 3y^2, pelo plano inferior z=0 e pelas faces verticais x=0, y=1 e y=x.
Conteúdo: cálculo de integrais duplas para volumes.
Plano: projetar o sólido no plano xy, escrever V=\iint_R (z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}})\,dA e calcular.

Passo 2

A projeção R do sólido no plano xy é dada pelas interseções das retas x=0, y=1 e y=x. Para cada x\in[0,1] temos y variando de y=x até y=1. Logo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le1\}.

Passo 3

O volume é
V=\iint_{R}\bigl(z_{\text{sup}}-z_{\text{inf}}\bigr)\,dA =\iint_{R}\bigl(x^2+3y^2-0\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x}^{1}\bigl(x^2+3y^2\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{y=x}^{1}\bigl(x^2+3y^2\bigr)\,dy =\int_{x}^{1}x^2\,dy+\int_{x}^{1}3y^2\,dy =x^2\bigl[\,y\bigr]_{y=x}^{1}+3\bigl[\tfrac{y^3}{3}\bigr]_{y=x}^{1}
=x^2(1-x)+(1^3-x^3) =1 + x^2 - x^3 - x^2 =1 - 2x^3 + x^2.

Passo 5

Agora integramos em x:
V=\int_{0}^{1}\bigl(1 + x^2 - 2x^3\bigr)\,dx =\Bigl[x + \tfrac{x^3}{3} - \tfrac{2x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} =1 + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} =\tfrac{6+2-3}{6} =\tfrac{5}{6}.

Resposta

V = \frac{5}{6}.

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