Calcule o volume do sólido dado:
Abaixo do plano x-2 y+z=1 \mathrm{e} acima da região limitada por x+y=1 \mathrm{e}x^{2}+y=1.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do plano x - 2y + z = 1 e “sobre” (acima de) a região D no plano xy limitada pelas curvas
x + y = 1 \quad\text{e}\quad x^2 + y = 1.
O método é projetar o sólido em D e calcular a integral dupla
V = \iint_{D} \bigl(\underbrace{z_{\text{top}}}_{1 - x + 2y} - \underbrace{z_{\text{bottom}}}_{0}\bigr)\,dA = \iint_{D} (1 - x + 2y)\,dA.
Passo 2
Precisamos descrever D\). As curvas se intersectam resolvendo
\[\begin{cases} x + y = 1,\\\ x^2 + y = 1. \end{cases}
Substituindo y = 1 - x\] na segunda:
\[x^2 + (1 - x) = 1 \;\Longrightarrow\; x^2 - x = 0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.\]
Assim os pontos de interseção são \((0,1) e (1,0). Para 0\le x\le1, comparamos