Calcule o volume do sólido dado:
Abaixo do plano x-2 y+z=1 \mathrm{e} acima da região limitada por x+y=1 \mathrm{e} x^{2}+y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está abaixo do plano x - 2y + z = 1 e “sobre” (acima de) a região D no plano xy limitada pelas curvas
x + y = 1 \quad\text{e}\quad x^2 + y = 1.
O método é projetar o sólido em D e calcular a integral dupla
V = \iint_{D} \bigl(\underbrace{z_{\text{top}}}_{1 - x + 2y} - \underbrace{z_{\text{bottom}}}_{0}\bigr)\,dA = \iint_{D} (1 - x + 2y)\,dA.

Passo 2

Precisamos descrever D\). As curvas se intersectam resolvendo \[\begin{cases} x + y = 1,\\\ x^2 + y = 1. \end{cases}
Substituindo y = 1 - x\] na segunda: \[x^2 + (1 - x) = 1 \;\Longrightarrow\; x^2 - x = 0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=1.\] Assim os pontos de interseção são \((0,1) e (1,0). Para 0\le x\le1, comparamos
y_{\text{reta}} = 1 - x \quad\text{e}\quad y_{\text{parábola}} = 1 - x^2,á
e vemos que 1 - x \le 1 - x^2. Logo
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;1 - x \le y \le 1 - x^2\}.

Passo 3

Montamos então
V = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=1 - x}^{\,1 - x^2}(1 - x + 2y)\,dy\,dx.

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em y:
\int_{1 - x}^{1 - x^2}(1 - x + 2y)\,dy = \Bigl[(1 - x)y + y^2\Bigr]_{y=1 - x}^{\,1 - x^2}.
Substituindo os limites, obtemos após simplificar um polinômio em x:
(2 - x - 3x^2 + x^3 + x^4)\;-\;(2 - 4x + 2x^2) = x^4 + x^3 - 5x^2 + 3x.
Portanto
V = \int_{0}^{1}\bigl(x^4 + x^3 - 5x^2 + 3x\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \Bigl[\tfrac{x^5}{5} + \tfrac{x^4}{4} - \tfrac{5x^3}{3} + \tfrac{3x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{3} + \tfrac{3}{2} = \tfrac{17}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{17}{60}

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