Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies (paraboloide voltado para cima) e (paraboloide voltado para baixo). Vamos usar integral dupla da diferença sobre a projeção no plano .
Passo 2
Primeiro, encontramos a curva de interseção definindo . Isso leva a
Passo 3
Logo, a projeção no plano é a região interior à elipse . O volume é
Passo 4
Para simplificar a elipse em um disco, fazemos a mudança de variáveis
que transforma em e tem jacobiano . Substituindo, o integrando fica