Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies z=2 x^2+y^2 e z=4-2 x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies z = 2x^2 + y^2 (paraboloide voltado para cima) e z = 4 - 2x^2 - y^2 (paraboloide voltado para baixo). Vamos usar integral dupla da diferença zsup - zinf sobre a projeção no plano xy.

Passo 2

Primeiro, encontramos a curva de interseção definindo 2x^2 + y^2 = 4 - 2x^2 - y^2. Isso leva a
4x^2 + 2y^2 = 4 Longrightarrow x^21 + y^22 = 1

Passo 3

Logo, a projeção D no plano xy é a região interior à elipse x^2/1 + y^2/2 <= 1. O volume é
V = integral duplaD l((4 - 2x^2 - y^2) - (2x^2 + y^2)r),dA = integral duplaD (4 - 4x^2 - 2y^2),dA

Passo 4

Para simplificar a elipse em um disco, fazemos a mudança de variáveis
u = x, v = yraiz2,que transforma D em u^2 + v^2 <= 1 e tem jacobiano l|Jr| = raiz2. Substituindo, o integrando fica
4 - 4u^2 - 2(raiz2v)^2 = 4 - 4u^2 -4v^2 = 4(1 - u^2 - v^2)

Passo 5

Agora usamos coordenadas polares u = rcostheta, v = rsintheta, com dudv = r,dr,dtheta. Assim:
$$V = \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1} 4(1-r^2),\bigl(\sqrt{2}\bigr),r,dr,d\theta.
$$

Passo 6

Fazendo a integral:
$$V = 4\sqrt{2} \cdot 2\pi \int_{0}^{1}(r - r^3),dr = 8\pi\sqrt{2} \bigl[\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4}\bigr] = 2\pi\sqrt{2}.
$$

Resposta

2\pi\sqrt{2}

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