lim x -3 x^3+5 x^2+7 x+32 x^3+9 x^2+10 x+3

Passo 1

Vamos resolver o limite limx -3 x^3+5 x^2+7 x+32 x^3+9 x^2+10 x+3. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo, especificamente no tópico de limites. Para resolver esse limite, vamos precisar entender como calcular o limite de uma função racional, que é uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor x = -3 diretamente na expressão para ver se conseguimos calcular o limite dessa forma. Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Calculando o numerador:
(-3)^3 + 5(-3)^2 + 7(-3) + 3 = -27 + 5(9) - 21 + 3 = -27 + 45 - 21 + 3 = 0

Passo 4

Calculando o denominador:
2(-3)^3 + 9(-3)^2 + 10(-3) + 3 = 2(-27) + 9(9) - 30 + 3 = -54 + 81 - 30 + 3 = 0

Passo 5

Como tanto o numerador quanto o denominador resultaram em zero quando substituímos x = -3, temos uma forma indeterminada do tipo 00. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 6

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador procurando por um fator comum que seja (x + 3), já que x = -3 é a raiz que anula ambos.

Passo 7

Fatorando o numerador x^3+5 x^2+7 x+3:
Usamos a divisão sintética ou o teorema do fator para encontrar que x = -3 é uma raiz.
Dividindo x^3+5 x^2+7 x+3 por (x + 3), obtemos:
x^3+5 x^2+7 x+3 = (x + 3)(x^2+2x+1) = (x + 3)(x + 1)^2

Passo 8

Fatorando o denominador 2 x^3+9 x^2+10 x+3:
Também usamos a divisão sintética ou o teorema do fator para encontrar que x = -3 é uma raiz.
Dividindo 2 x^3+9 x^2+10 x+3 por (x + 3), obtemos:
2 x^3+9 x^2+10 x+3 = (x + 3)(2x^2+3x+1) = (x + 3)(2x + 1)(x + 1)

Passo 9

Agora, substituímos os fatores fatorados na expressão original:
(x + 3)(x + 1)^2(x + 3)(2x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2(2x + 1)(x + 1) = x + 12x + 1
Aqui, cancelamos o fator comum (x + 3) e um fator (x + 1).

Passo 10

Agora, substituímos x = -3 na expressão simplificada x + 12x + 1:
-3 + 12(-3) + 1 = -2-6 + 1 = -2-5 = 25

Resposta

O limite limx -3 x^3+5 x^2+7 x+32 x^3+9 x^2+10 x+3 é 25.

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