Calcule o volume do solido W que fica acima do plano z=1 e dentro da esfera x^2+ y^2+z^2=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que está acima do plano z=1 e dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4. O conteúdo principal é cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas (ou usar a fórmula de calota esférica). Vamos montar um integral triplo em coordenadas cilíndricas para resolver.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as variáveis (r,theta,z) com a esfera r^2+z^2=4 e o plano z=1. A região é descrita por
0<=theta<=2pi, 0<= r<=raiz4-1=raiz3, 1<= z<=raiz4-r^2
Logo o volume é
V=integral0^2piintegral0^raiz3integral1^raiz4-r^2r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Vamos integrar primeiro em z. Como r é constante nessa etapa, temos
V=integral0^2piintegral0^raiz3rl(raiz4-r^2-1r),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em theta. Como o integrando não depende de theta, basta multiplicar por 2pi:
V=2piintegral0^raiz3rl(raiz4-r^2-1r),dr

Passo 5

Separamos em duas integrais:
V=2pil(integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr;- integral0^raiz3r,drr)

Passo 6

Para I1=integral0^raiz3rraiz4-r^2,dr fazemos a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr. Isso leva a
I1=-tfrac12integralu(0)=4^u(raiz3)=1u^1/2,du=-tfrac13l(u^3/2r)|4^1=73

Passo 7

Para I2=integral0^raiz3r,dr temos diretamente
I2=r^22|0^raiz3=32

Passo 8

Substituindo em V=2pi(I1-I2):
V=2pil(73-32r)=2pi56=5pi3

Resposta

5pi3

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