Seja W uma região limitada pelos planos z=-2, z=4 e pelo cilindro x^2+y^2=16. Calcule: integral tripla W raizx^2+y^2 d v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de raizx^2+y^2 sobre a região W, que é limitada pelos planos z=-2, z=4 e pelo cilindro x^2+y^2=16. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria cilíndrica.

Passo 2

Nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
  • O elemento de volume é dv = r , dr , dtheta , dz
    Além disso, raizx^2+y^2 = r.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • O cilindro x^2+y^2=16 corresponde a r=4.
  • Os planos z=-2 e z=4 definem os limites para z.
  • O ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, substituímos na integral tripla:
integral triplaW raizx^2+y^2 , dv = integral0^2pi integral0^4 integral-2^4 r cdot r , dz , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^4 r^2 (4 - (-2)) , dr , dtheta

Passo 5

Calculamos a integral em z:
integral-2^4 dz = 6

Passo 6

Substituindo na integral:
6 integral0^2pi integral0^4 r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Calculamos a integral em r:
integral0^4 r^2 , dr = 4^33 = 643

Passo 8

Finalmente, calculamos a integral em theta:
6 cdot 643 cdot integral0^2pi dtheta = 6 cdot 643 cdot 2pi = 256pi

Resposta

256pi

Exercícios relacionados