Seja W uma região limitada pelos planos
e pelo cilindro
. Calcule:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é limitada pelos planos
,
e pelo cilindro
. Para simplificar, vamos usar coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria cilíndrica.
Passo 2
Nas coordenadas cilíndricas, temos as seguintes relações:
-
-
-
- O elemento de volume é
Além disso,.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
- O cilindro
corresponde a . - Os planos
e definem os limites para . - O ângulo
varia de a .
Passo 4
Agora, substituímos na integral tripla:
Passo 5
Calculamos a integral em
:
Passo 6
Substituindo na integral:
Passo 7
Calculamos a integral em
:
Passo 8
Finalmente, calculamos a integral em
: