Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x, em cada um dos seguintes casos:
y=2 x-x^{2} e y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=2x - x^2 e y=0 em torno do eixo x. Esse tipo de problema usa o método dos discos, cuja fórmula é
V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx.

Passo 2

Para achar os limites de integração a e b, resolvemos
2x - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(2 - x)=0,
logo x=0 ou x=2. Assim, a=0 e b=2.

Passo 3

Em cada fatia perpendicular ao eixo x, o raio do disco é y=2x - x^2. Portanto, o volume é
V = \pi \int_0^2 \bigl(2x - x^2\bigr)^2 \, dx.

Passo 4

Expandindo o quadrado e integrando:
(2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4,
\int_0^2 (4x^2 - 4x^3 + x^4)\,dx = \Bigl[\tfrac{4x^3}{3} - x^4 + \tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^2 = \tfrac{32}{3} - 16 + \tfrac{32}{5} = \tfrac{16}{15}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator \pi, concluímos
V = \pi \cdot \tfrac{16}{15} = \tfrac{16\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{16\pi}{15}

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