Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y, em cada um dos seguintes casos:
y=2 x, x=0 e y=4

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do plano limitada por \,y=2x, \,x=0 e \,y=4. Vamos usar o método dos discos (fatias horizontais), integrando em y.

Passo 2

Para um valor fixo de y entre 0 e 4, a região vai de x=0 até a reta y=2x, ou seja
x = \frac{y}{2}.
Ao girar essa fatia em torno do eixo y, obtemos um disco de raio
R(y) = x = \frac{y}{2}
e espessura \,dy.

Passo 3

A área desse disco é
A(y) = \pi\bigl[R(y)\bigr]^2 = \pi\Bigl(\frac{y}{2}\Bigr)^2 = \frac{\pi\,y^2}{4}.
Logo, o volume é a integral dessas áreas de y=0 até y=4:
V = \int_{0}^{4} A(y)\,dy = \int_{0}^{4} \frac{\pi\,y^2}{4}\,dy.

Passo 4

Calculando a integral:
V = \frac{\pi}{4}\int_{0}^{4} y^2\,dy = \frac{\pi}{4}\biggl[\frac{y^3}{3}\biggr]_{0}^{4} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{64}{3} = \frac{16\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{16\pi}{3}.

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