Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo
, em cada um dos seguintes casos:
e
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelas curvas
e
O conteúdo é aplicação do método de arruelas (ou discos anelares) para sólidos de revolução. Para resolver, precisamos
- determinar os pontos de interseção dessas curvas;
- expressar em cada
o raio externo e o raio interno da arruela; - montar e calcular a integral de volume.
Passo 2
Encontramos as interseções resolvendo
Substituindo
em
dá
Portanto, a região está para
.
Passo 3
Para cada valor de
a região vai de
Ao girar em torno de
, esses valores viram raios da arruela:
Logo, o volume é
Passo 4
Expandindo o integrando:
Uma primitiva é
Passo 5
Avalia-se de
a
:
Multiplicando por
, obtemos o volume.