Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y, em cada um dos seguintes casos:
y^{2}=x e y-x+2=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região limitada pelas curvas
y^{2}=x
e
y - x + 2 = 0.
O conteúdo é aplicação do método de arruelas (ou discos anelares) para sólidos de revolução. Para resolver, precisamos
  1. determinar os pontos de interseção dessas curvas;
  2. expressar em cada y o raio externo e o raio interno da arruela;
  3. montar e calcular a integral de volume.

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
y^{2} = x \quad\text{e}\quad y - x + 2 = 0\;\Longrightarrow\;x = y + 2.
Substituindo x em y^{2}=x
y^{2} = y + 2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} - y - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 2\;\text{ou}\;y = -1.
Portanto, a região está para y\in[-1,2].

Passo 3

Para cada valor de y a região vai de
x_{\text{int}} = y^{2} \quad\text{até}\quad x_{\text{ext}} = y + 2.é
Ao girar em torno de y, esses valores viram raios da arruela:
r(y) = y^{2}, \qquad R(y) = y + 2.
Logo, o volume é
V = \pi \int_{y=-1}^{2} \Bigl[R(y)^{2} - r(y)^{2}\Bigr]\,dy = \pi \int_{-1}^{2} \bigl[(y+2)^{2} - (y^{2})^{2}\bigr]\,dy.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(y+2)^{2} - (y^{2})^{2} = (y^{2} + 4y + 4) - y^{4} = -\,y^{4} + y^{2} + 4y + 4.
Uma primitiva é
\int \bigl(-y^{4} + y^{2} + 4y + 4\bigr)\,dy = -\frac{y^{5}}{5} + \frac{y^{3}}{3} + 2y^{2} + 4y.

Passo 5

Avalia-se de y=-1 a y=2:
\Bigl[-\tfrac{y^{5}}{5} + \tfrac{y^{3}}{3} + 2y^{2} + 4y\Bigr]_{-1}^{2} = \Bigl(-\tfrac{32}{5} + \tfrac{8}{3} +16\Bigr)\;-\;\Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{3} -2\Bigr) = \frac{72}{5}.
Multiplicando por \pi, obtemos o volume.

Resposta

V = \frac{72\pi}{5}.

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