Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos gráficos das funções dadas: y = x^2, 0 <= x < 1/2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o volume do sólido que forma quando a curva gira em torno do eixo , no intervalo de . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é ótimo para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o volume de um sólido de rotação usando o método dos discos. A fórmula é:
Aqui, é a função que está sendo girada, e e são os limites do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função é , e os limites são de a . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral de . A antiderivada de é:
Como estamos avaliando uma integral definida, não precisamos da constante . Assim, substituindo os limites:

Passo 6

Vamos calcular :
Então:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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