É verdadeiro ou falso?
Se
então
para todo
.
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: Temos uma função definida por partes onde, para
,
e
. A pergunta é se todas as derivadas dessa função em
são iguais a zero para qualquer ordem
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas de funções definidas por partes e sobre funções suaves (que têm derivadas de todas as ordens).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que todas as derivadas em
sejam zero. Isso quer dizer que, se você calcular a primeira derivada
, a segunda
, e assim por diante, todas essas derivadas vão resultar em zero.
Passo 3
A função dada,
para
e
, é conhecida por ser uma função suave em
. Isso significa que ela é infinitamente diferenciável em todos os pontos, inclusive em
.
Passo 4
Para encontrar as derivadas de
em
, usamos a definição de derivada. No caso dessa função, graças à sua construção especial, quando calculamos as derivadas em
, acabamos sempre multiplicando por termos que tendem a zero muito rapidamente, fazendo com que todas as derivadas de qualquer ordem em
sejam zero.
Passo 5
Isso ocorre porque, embora a função seja extremamente “pico” em torno de
, a exponencial negativa impede que as derivadas cresçam de forma a gerar valores diferentes de zero.
Resposta
Verdadeiro. Todas as derivadas de
em
são iguais a zero para todo
.