Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçã, em torno do êvo) do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que:
0 <= y <= raiz(2 - x^2), 1 <= x <= raiz(2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por e é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A equação representa a parte superior de um círculo com raio centrado na origem. Porém, estamos considerando apenas a parte onde varia de 1 até . Isso significa que estamos olhando para um pedaço dessa semicircunferência que vai de a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos essa região em torno do eixo , cada pequena fatia perpendicular ao eixo se torna um disco. O volume de cada disco é dado por:
Aqui, é a função que descreve a fronteira superior da região.

Passo 4

Substituindo na fórmula do volume do disco, temos:
Isso simplifica a expressão do volume diferencial para .

Passo 5

Para encontrar o volume total, integramos de até :
Fatorando a constante , a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a :

Passo 7

Calculando cada parte:
Então:
E:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume do sólido é .

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