Calcule o volume do sólido obtido pela rotaçã, em torno do êvo) do conjunto de todos os pontos
tais que:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de um sólido que é gerado quando a região definida por
e
é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A equação
representa a parte superior de um círculo com raio
centrado na origem. Porém, estamos considerando apenas a parte onde
varia de 1 até
. Isso significa que estamos olhando para um pedaço dessa semicircunferência que vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método dos discos. Quando giramos essa região em torno do eixo
, cada pequena fatia perpendicular ao eixo
se torna um disco. O volume de cada disco é dado por:
Aqui,
é a função que descreve a fronteira superior da região.
Passo 4
Substituindo
na fórmula do volume do disco, temos:
Isso simplifica a expressão do volume diferencial para
.
Passo 5
Para encontrar o volume total, integramos
de
até
:
Fatorando a constante
, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 7
Calculando cada parte:
Então:
E:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido é
.