Calcule o volume do sólido Ω em R^3 dado por
Ω = {(x, y, z) | x^2 + y^2 + z^2 ≥ 4, x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4z}

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido por:
Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional ( ). Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e integrais triplas para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas condições que definem :
  1. : Isso representa o exterior de uma esfera de raio 2 centrada na origem.
  2. : Podemos reescrever isso como , ou seja, . Isso descreve o interior de uma esfera de raio 2 centrada em .
Portanto, é a região que está fora da primeira esfera e dentro da segunda.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e :
  • varia de a porque a simetria é completa em torno do eixo .
  • varia de a para cobrir todo o espaço vertical.
  • Para , observamos que:
    A primeira condição se traduz em .
    A segunda condição se torna , ou .
Então, os limites para são de a .

Passo 5

Montamos a integral tripla para o volume :
Notamos que deve ser positivo, então vai de a .

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
Fazendo as integrais:
Então:
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto: .
Finalmente, a integral em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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