Beleza, vamos calcular o volume do sólido definido por:
Aqui estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço tridimensional (). Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas e integrais triplas para encontrar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas condições que definem :
: Isso representa o exterior de uma esfera de raio 2 centrada na origem.
: Podemos reescrever isso como , ou seja, . Isso descreve o interior de uma esfera de raio 2 centrada em .
Portanto, é a região que está fora da primeira esfera e dentro da segunda.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos mudar para coordenadas esféricas, onde:
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para , e :
varia de a porque a simetria é completa em torno do eixo .
varia de a para cobrir todo o espaço vertical.
Para , observamos que:
A primeira condição se traduz em .
A segunda condição se torna , ou .
Então, os limites para são de a .
Passo 5
Montamos a integral tripla para o volume :
Notamos que deve ser positivo, então vai de a .
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Primeiro, a integral em :
Agora, a integral em :
Fazendo as integrais:
Então:
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto: .