Seja
a sequência definida por
Prove que:
(a)
é convergente.
(b) Calcule
Observação: Esta questão vale 1.0 ponto ( 0.5 ponto cada item). Sugestāo: Para provar o item (a) mostre que
é uma sequência crescente e limitada superiormente (prove, por indução, que
é limitada superiormente pelo número 3 ).
(a)
(b) Calcule
Observação: Esta questão vale 1.0 ponto ( 0.5 ponto cada item). Sugestāo: Para provar o item (a) mostre que
Passo 1
Então, temos uma sequência definida por
e
para todo
natural. O objetivo aqui é mostrar duas coisas: primeiro, que essa sequência converge (ou seja, ela se aproxima de um número específico à medida que
cresce), e segundo, descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sequências crescentes e limitadas, além de usar um pouco de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência
é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior. Vamos verificar isso passo a passo.
Passo 3
Começamos com
. Agora, vamos ver
. Claramente,
.
Passo 4
Assumindo que
para algum
, vamos mostrar que
. Temos:
Como
, então
, e acrescentando 1 a ambos:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados (já que a função raiz é crescente):
Assim, por indução, mostramos que a sequência é crescente.
Passo 5
Agora, precisamos provar que a sequência é limitada superiormente, ou seja, existe um número que nunca é ultrapassado pela sequência. Vamos mostrar que
para todo
.
Passo 6
Para
, temos
. Suponha que
para algum
. Então:
Portanto, por indução, a sequência está sempre abaixo de 3.
Passo 7
Sabemos que toda sequência que é crescente e limitada superiormente converge. Portanto,
é convergente.
Passo 8
Vamos agora calcular o limite da sequência. Vamos chamar o limite de
. Como a sequência converge, temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como a sequência
é positiva, descartamos a solução negativa. Assim:
Resposta
O limite da sequência
é
.