Calcule o volume do tetraedro A B C D em que A=(1,0,0), B=(1,0,1), C=(0,0,1) e D=(4,2,7).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro ABCD cujos vértices são
A=(1,0,0), B=(1,0,1), C=(0,0,1), D=(4,2,7)
O conteúdo principal aqui é o produto misto (ou triplo escalar) de vetores em R^3. Lembra que, se tomarmos três arestas que saem de um mesmo vértice, por exemplo AB, AC e AD, o volume do tetraedro é
Volume = 16l|detl(AB,AC,ADr)r|

Passo 2

Vamos calcular as três arestas saindo de A:
AB=B-A=(1,0,1)-(1,0,0)=(0,0,1),
AC=C-A=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1),
AD=D-A=(4,2,7)-(1,0,0)=(3,2,7)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
ACtimesAD
que vale
i & j & k -1 & 0 & 1 3 & 2 & 7 =-2,i+10,j-2,k

Passo 4

Em seguida, fazemos o produto escalar de AB com esse vetor:
ABcdotl(ACtimesADr) =(0,0,1)cdot(-2,10,-2)=-2
O valor absoluto desse triplo escalar é l|-2r|=2, que é igual ao valor absoluto do determinante.

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume do tetraedro:
Volume=16times 2=26=13

Resposta

O volume do tetraedro ABCD é 13.

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