Verificar se são coplanares os seguintes pontos: A=(1,1,1), B=(-2,-1,-3), C=(0,2,-2) e w=(-1,0,-2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os pontos
A=(1,1,1), B=(-2,-1,-3), C=(0,2,-2)
e o ponto D definido pelo vetor de posição
vec w = (-1,0,-2)
são coplanares.
Conteúdo: em R^3, quatro pontos são coplanares se, e somente se, os vetores formados a partir de um deles forem linearmente dependentes. Podemos testar isso calculando o produto escalar triplo de AB, AC e AD.

Passo 2

Definimos o ponto
D = (-1,0,-2)
e calculamos os vetores relativos a A:
AB=B-A=(-2-1,,-1-1,,-3-1)=(-3,-2,-4),
AC=C-A=(0-1,;2-1,;-2-1)=(-1,1,-3),
AD=D-A=(-1-1,;0-1,;-2-1)=(-2,-1,-3)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial ACtimesAD:
ACtimesAD = i&j&k -1&1&-3 -2&-1&-3 =(1cdot(-3)-(-3)cdot(-1)),i -((-1)cdot(-3)-(-3)cdot(-2)),j +((-1)cdot(-1)-1cdot(-2)),k
=(-3-3),i-l(3-6r),j+(1-(-2)),k =(-6),i-(-3),j+3,k =(-6,,3,,3)
Em seguida, o produto escalar triplo é
ABcdotl(ACtimesADr) =(-3,-2,-4)cdot(-6,3,3) =(-3)(-6)+(-2)cdot3+(-4)cdot3 =18-6-12=0

Passo 4

Como o produto escalar triplo é zero, concluímos que AB, AC e AD são linearmente dependentes. Logo, os quatro pontos A,B,C,D são coplanares.

Resposta

Os pontos são coplanares.

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