Calcule o wronskiano das funções:
f(x)=x^{2} e g(x)=x;

Passo 1

O enunciado pede o wronskiano de duas funções \;f(x)=x^2 e \;g(x)=x. Esse conceito serve para testar a independência linear de soluções de equações diferenciais, mas aqui basta aplicar a definição que envolve derivadas.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)=2x,
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1.

Passo 3

A definição do wronskiano W(f,g)(x) é dado pelo determinante
W(f,g)(x) = \det\begin{pmatrix} f(x) & g(x)\\\ f'(x)& g'(x) \end{pmatrix} = f(x)\,g'(x)-f'(x)\,g(x).

Passo 4

Substituindo f(x)=x^2, g(x)=x, f'(x)=2x e g'(x)=1, obtemos
W(f,g)(x) = x^2\cdot1 \;-\;(2x)\cdot x = x^2-2x^2 = -\,x^2.

Resposta

W(f,g)(x)=-x^2.

Exercícios relacionados