Resolva:
y^{\prime \prime}+\frac{x-2}{x^{2}-x} y^{\prime}=0,0<x<1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + \frac{x-2}{x^{2}-x}\,y' = 0,\quad 0<x<1.
Repare que não há termo em y, apenas em y' e y''. Podemos então usar a redução de ordem definindo
z(x)=y'(x),
transformando a equação em uma equação de primeira ordem para z.

Passo 2

Substituindo y'=z e y''=z' obtemos
z' + \frac{x-2}{x(x-1)}\,z = 0.
É uma equação linear de primeira ordem ou — equivalentemente — separável:
\frac{dz}{z} = -\frac{x-2}{x(x-1)}\,dx.
Fazendo frações parciais em
-\frac{x-2}{x(x-1)} = -\frac{x-2}{x(x-1)} = -2\cdot\frac1x + 1\cdot\frac1{x-1},
temos
\int \frac{dz}{z} = \int\Bigl(-\frac{2}{x} + \frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx = -2\ln|x| + \ln|x-1| + C.
Logo
\ln|z| = \ln\Bigl|\frac{x-1}{x^2}\Bigr| + C \quad\Longrightarrow\quad z = C_1\,\frac{x-1}{x^2}.

Passo 3

Voltando a y', temos
y' = C_1\,\frac{x-1}{x^2} = C_1\Bigl(\frac1x - \frac1{x^2}\Bigr).
Agora integramos para encontrar y:
y = \int y'\,dx = C_1\int\Bigl(\frac1x - \frac1{x^2}\Bigr)\,dx + C_2 = C_1\bigl(\ln x + \tfrac{1}{x}\bigr) + C_2.

Resposta

y(x) = C_1\Bigl(\ln x + \frac1x\Bigr) + C_2,
com constantes arbitrárias C_1 e C_2.

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