Calcule y', onde: 1 + 3 x y = sen(x y^2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar derivadas implícitas, que são úteis quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , teremos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, a derivada de 1 é 0, e para usamos a regra do produto: derivada de é 3, multiplicado por , mais vezes a derivada de , que é .

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é vezes a derivada de .
Derivando :
Usamos novamente a regra do produto: derivada de é 1 vezes , mais vezes a derivada de , que é .

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas encontradas de ambos os lados na equação original:

Passo 5

Nosso objetivo é isolar . Vamos primeiro distribuir o :
Agora, vamos levar todos os termos que contêm para um lado e os demais para o outro:
Fatorando no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é dada por:

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