Calcule
, onde:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a equação e precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar derivadas implícitas, que são úteis quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, teremos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia onde necessário.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, a derivada de 1 é 0, e para
usamos a regra do produto: derivada de
é 3, multiplicado por
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de é
vezes a derivada de
.
Derivando
:
Usamos novamente a regra do produto: derivada de
é 1 vezes
, mais
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas encontradas de ambos os lados na equação original:
Passo 5
Nosso objetivo é isolar
. Vamos primeiro distribuir o
:
Agora, vamos levar todos os termos que contêm
para um lado e os demais para o outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A derivada
é dada por: