Verifique se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Vamos analisar a função
no ponto
. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente a verificação de diferenciabilidade de funções em um ponto. Precisamos verificar se a função é contínua em
e se as derivadas laterais à esquerda e à direita nesse ponto são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de
.
Para
se aproximando de 0 pela esquerda (
):
Para
se aproximando de 0 pela direita (
):
O valor de
é:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade em
calculando as derivadas laterais.
Para a derivada pela esquerda (
):
A função é . Para
,
, então:
A função é
A derivada é:
Portanto, a derivada à esquerda em 0 é:
Para a derivada pela direita (
):
A função é . A derivada é:
A função é
Portanto, a derivada à direita em 0 é:
Resposta
Como as derivadas laterais à esquerda e à direita em
são iguais (
), a função
é diferenciável no ponto
.