Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule 
  ao longo da parte da curva resultante da interseção de 
  
 , onde 
Sol. 1
Calcule
Sol. 1
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O problema pede para calcular 
  ao longo da curva 
 , que é a interseção da esfera 
  com o plano 
 , considerando apenas onde 
 . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva 
 . Ela é a interseção entre a esfera 
  e o plano 
 . Para encontrar essa curva, precisamos expressar uma das variáveis em termos das outras usando o plano e substituir na equação da esfera.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
- 
(plano)  - 
(esfera)  
Da primeira equação, podemos expressar 
  em termos de 
 : 
 .
Passo 4
Substituindo 
  na equação da esfera:
Expandindo 
 :
Simplificando:
Passo 5
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Para parametrizar a curva, vamos escolher um parâmetro conveniente. Como temos uma relação quadrática em 
 , podemos usar 
  como parâmetro. Então, definimos:
Então, 
E, de 
 , temos:
Passo 7
Agora, temos a parametrização da curva 
 :
Precisamos determinar o intervalo de 
  para que 
  seja real e 
 .
Passo 8
A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Fatorando:
Isso acontece quando 
 . Então, nosso parâmetro 
  varia de 0 a 1.
Passo 9
Agora, vamos calcular 
 , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Sabemos que:
Vamos calcular cada derivada:
Para 
 , vamos derivar 
 :
Passo 10
Substituindo as derivadas em 
 :
Simplificando:
Passo 11
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 12
Agora, temos tudo para montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é 
 .