4 (Cálculo com variação) Se a força elétrica entre duas cargas é ( 5,0 \mathrm{~N} ), qual será a força se ambas as cargas forem duplicadas e a distância mantida?

Passo 1

O enunciado dá que a força elétrica entre duas cargas é \,5,0\\ \mathrm{N}\,. Pergunta qual será a nova força se ambas as cargas forem duplicadas (ou seja, cada carga passa a valer o dobro do valor original) e a distância entre elas for mantida constante. Informações relevantes:
\,F_{\text{inicial}} = 5,0\\ \mathrm{N}\,,
as duas cargas são multiplicadas por 2 (cada uma),
a distância r permanece a mesma.

Passo 2

Vamos escrever a expressão geral que relaciona a força elétrica com as cargas e a distância, e explicar cada símbolo cuidadosamente.
A lei que governa a força elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por
F = k\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}.
Aqui:
  • F é a força elétrica entre as duas cargas (medida em \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática (uma constante que depende do sistema de unidades e do meio, mas que não muda se apenas alteramos as cargas);
  • q_{1} e q_{2} são as magnitudes das duas cargas (em coulombs);
  • r é a distância entre as cargas (em metros).
    Importante: se a distância r e k não mudam, a força depende apenas do produto q_{1}q_{2}. Ou seja, com r fixo,
F \propto q_{1}q_{2}.
Isto significa que se o produto q_{1}q_{2} for multiplicado por um fator, a força é multiplicada pelo mesmo fator.

Passo 3

Identifiquemos o que acontece ao duplicar ambas as cargas. Se originalmente as cargas eram q_{1} e q_{2}, após duplicar temos
q_{1}' = 2q_{1},\qquad q_{2}' = 2q_{2}.
Agora calculemos o novo produto das cargas:
q_{1}'q_{2}' = (2q_{1})(2q_{2}) = 4\,q_{1}q_{2}.
Portanto o produto das cargas fica 4 vezes maior.

Passo 4

Usando a fórmula da força com as novas cargas e a mesma distância r, temos
F' = k\,\dfrac{q_{1}'\,q_{2}'}{r^{2}} = k\,\dfrac{4\,q_{1}q_{2}}{r^{2}} = 4\left(k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\right).
Mas k\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} é exatamente a força inicial F_{\text{inicial}}. Logo
F' = 4\,F_{\text{inicial}}.

Passo 5

Agora substituímos o valor numérico dado para a força inicial. Como \,F_{\text{inicial}} = 5,0\\ \mathrm{N}\,, obtemos
F' = 4 \times 5,0\\ \mathrm{N} = 20\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: duplicar ambas as cargas faz com que a interação elétrica fique quatro vezes mais forte (porque 2\times2=4) quando a distância não muda.

Resposta

20\\ \mathrm{N}

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