Achar o acréscimo \Delta y e a diferencial d y da função
y=5 x+x^{2}, \text { para } x=2 \text { e } \Delta x=0,001 .

Passo 1

O enunciado pede o acréscimo \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) e a diferencial dy=f'(x)\,dx para a função
y=5x+x^{2}
no ponto x=2 com \Delta x=0,001. Vamos usar a definição de incremento de função e a derivada para obter esses valores.

Passo 2

Calcular f(2) e f(2+\Delta x):
f(2)=5\cdot2+2^{2}=10+4=14,
f(2,001)=5\cdot2,001+(2,001)^{2}=10,005+4,004001=14,009001.

Passo 3

O acréscimo \Delta y é a diferença entre esses valores:
\Delta y=f(2,001)-f(2)=14,009001-14=0,009001.

Passo 4

Agora calculamos a derivada
f'(x)=5+2x,
então em x=2 temos
f'(2)=5+2\cdot2=9.
A diferencial dy é
dy=f'(2)\,dx=9\cdot0,001=0,009.

Resposta

\Delta y=0,009001 e dy=0,009.

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