Achar a derivada de cada uma das funções:

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=arctan!gl(x-23-e^cos xgr)
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia (derivada de arctan(u)) e a regra do quociente para u(x)=x-23-e^cos x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, se f(x)=arctan(u(x)) então
f'(x)=u'(x)1+[u(x)]^2

Passo 3

Para u(x)=v(x)w(x) usamos a regra do quociente
u'(x)=v'(x),w(x)-v(x),w'(x)[w(x)]^2
Aqui
v(x)=x-2, v'(x)=1,
w(x)=3-e^cos x, w'(x)=-ddxe^cos x =-e^cos x,(-sin x) =e^cos xsin x
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u'(x) =(3-e^cos x)-(x-2),e^cos xsin xl(3-e^cos xr)^2

Passo 4

Agora calculamos
1+[u(x)]^2 =1+(x-2)^2(3-e^cos x)^2 =(3-e^cos x)^2+(x-2)^2(3-e^cos x)^2
Substituindo em
f'(x)=u'(x)1+[u(x)]^2
obtemos
f'(x) =(3-e^cos x)-(x-2),e^cos xsin x l(3-e^cos xr)^2 (3-e^cos x)^2+(x-2)^2(3-e^cos x)^2 =3-e^cos x ;-;(x-2),e^cos xsin x (3-e^cos x)^2+(x-2)^2

Resposta

f'(x) =3-e^cos x ;-;(x-2),e^cos xsin x (3-e^cos x)^2+(x-2)^2

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