Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
y=\ln \left(x+\sqrt{\left.a^{2}+x^{2}\right)} .\right.

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = \ln\bigl(x + \sqrt{a^2 + x^2}\bigr).
O conteúdo envolve derivação de logaritmo e simplificação algébrica; precisaremos usar a regra da cadeia e depois derivar novamente o resultado.

Passo 2

Defina
u(x) = x + \sqrt{a^2 + x^2},
então
y = \ln u
e, pela regra de derivação do logaritmo,
y' = \frac{u'}{u}.
Agora calcule
u' = 1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}.

Passo 3

Substituindo em y', obtemos
y' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}}{\,x + \sqrt{a^2 + x^2}\,} = \frac{\frac{\sqrt{a^2 + x^2} + x}{\sqrt{a^2 + x^2}}}{x + \sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}.

Passo 4

Para a segunda derivada, derive
y' = (a^2 + x^2)^{-\tfrac12}.
Usando a regra da potência e a cadeia,
y'' = -\tfrac12\,(a^2 + x^2)^{-\tfrac32}\cdot 2x = -\frac{x}{(a^2 + x^2)^{\tfrac32}}.

Resposta

y' = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}, \qquad y'' = -\frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}.

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