Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
y=\operatorname{sen}^{2} x .

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y=\sin^2 x. O conteúdo aqui é derivação de função composta (regra da cadeia) e uso de identidades trigonométricas. Vamos aplicar a regra da cadeia e depois simplificar com a identidade \sin(2x)=2\sin x\cos x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para calcular y':
y' = \frac{d}{dx}\bigl(\sin^2 x\bigr) = 2\,\sin x\;\frac{d}{dx}(\sin x) = 2\,\sin x\cos x.
Usando \sin(2x)=2\sin x\cos x, obtemos
y' = \sin(2x).

Passo 3

Derivando y'=\sin(2x) novamente pela regra da cadeia:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr) = \cos(2x)\;\frac{d}{dx}(2x) = 2\cos(2x).

Resposta

y'' = 2\cos(2x).

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