Achar os extremos das funções:
y=x^33-2 x^2+3 x+1. Resp. ymax =72 para x=1, ymin =1 para x=3.

Passo 1

Temos a função
y = x^33 - 2x^2 + 3x + 1
e queremos achar os pontos em que ela atinge extremos (máximo e mínimo local). Para isso vamos usar derivadas: primeiro encontramos os pontos críticos resolvendo y'=0, depois aplicamos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
y' = ddxl(tfracx^33r) - ddx(2x^2) + ddx(3x) + ddx(1) = x^2 - 4x + 3

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
y' = x^2 - 4x + 3 = 0
Essa equação quadrática fatoriza como
(x-1)(x-3)=0,
logo os pontos críticos são
x = 1 e x = 3

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para classificar os pontos:
y'' = ddx(x^2 - 4x + 3) = 2x - 4
Em x=1:
y''(1) = 2cdot1 - 4 = -2 < 0,
logo há um máximo local em x=1. Em x=3:
y''(3) = 2cdot3 - 4 = 2 > 0,
logo há um mínimo local em x=3.
Agora os valores da função nesses pontos:
y(1) = 1^33 - 2cdot1^2 + 3cdot1 + 1 = 13 - 2 + 3 + 1 = 2 + 13 = 73,
y(3) = 3^33 - 2cdot3^2 + 3cdot3 + 1 = 9 - 18 + 9 + 1 = 1

Resposta

ymax = 73 em x =1, ymin = 1 em x =3

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