1. Achar \frac{d u}{d t}, se
u=\ln \operatorname{sen} \frac{x}{\sqrt{y}}, \text { onde } x=3 t^{2}, y=\sqrt{t^{2}+1}

Passo 1

O enunciado define
u=\ln\bigl(\operatorname{sen}(\tfrac{x}{\sqrt{y}})\bigr), \quad x=3t^2, \quad y=\sqrt{t^2+1}.
Queremos \dfrac{du}{dt}. Vamos usar a regra da cadeia em várias etapas: derivada de \ln, de \operatorname{sen} e da função interna \tfrac{x}{\sqrt{y}}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em
u=\ln\bigl(\operatorname{sen}(\varphi)\bigr), \quad\varphi=\frac{x}{\sqrt{y}},
temos
\frac{du}{dt} =\frac{1}{\operatorname{sen}(\varphi)}\cdot\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sen}(\varphi)\bigr] =\frac{1}{\operatorname{sen}(\varphi)}\cdot\cos(\varphi)\,\frac{d\varphi}{dt} =\frac{\cos(\varphi)}{\operatorname{sen}(\varphi)}\,\frac{d\varphi}{dt} =\cot(\varphi)\,\frac{d\varphi}{dt}.

Passo 3

Agora \varphi=\tfrac{x}{\sqrt{y}}=x\,y^{-1/2}. Pelo produto e pela cadeia,
\frac{d\varphi}{dt} =\frac{dx}{dt}\,y^{-1/2} + x\;\frac{d}{dt}\bigl(y^{-1/2}\bigr) =\frac{dx}{dt}\,y^{-1/2} + x\bigl(-\tfrac12 y^{-3/2}\bigr)\,\frac{dy}{dt}.

Passo 4

Calculamos as derivadas de x e y:
\frac{dx}{dt}=6t, \qquad y=(t^2+1)^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}(t^2+1)^{-1/2}\cdot2t =\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}.

Passo 5

Substituindo em \frac{d\varphi}{dt} e usando y=(t^2+1)^{1/2}:
\frac{d\varphi}{dt} =6t\,y^{-1/2} - \frac{x}{2}\,y^{-3/2}\,\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}.
Como x=3t^2 e y^{\pm1/2}=(t^2+1)^{\pm1/4}, faz-se a simplificação algébrica para obter
\frac{d\varphi}{dt} =\frac{3t(3t^2+4)}{2\,(t^2+1)^{5/4}}.

Passo 6

Finalmente,
\frac{du}{dt} =\cot(\varphi)\,\frac{d\varphi}{dt} =\frac{3t(3t^2+4)}{2\,(t^2+1)^{5/4}} \;\cot\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{y}}\Bigr).

Resposta

\boxed{ \frac{du}{dt} =\frac{3t(3t^2+4)}{2\,(t^2+1)^{5/4}} \;\cot\!\Bigl(\frac{3t^2}{(t^2+1)^{1/4}}\Bigr) }.

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