Achar por integração a área da superfície do cone gerado pela revolução, em torno de O X, do segmento da reta y=2 x, cuja projeção sobre O X é o segmento [0,2]. Ache também a área gerada pela revolução em torno de O Y. Verifique seus resultados geomètricamente.

Passo 1

O problema pede a área da superfície gerada pela revolução do segmento da reta y=2x, para 0\le x\le2, em torno de dois eixos: o eixo OX e o eixo OY. Para isso vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução de uma curva y=f(x):
ds = \sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx,
\text{para revolver em torno de }OX:\quad A_x = 2\pi\int_{0}^{2}y\,ds,
\text{para revolver em torno de }OY:\quad A_y = 2\pi\int_{0}^{2}x\,ds.

Passo 2

Calcular A_x. Temos y=2x, logo y'=2 e
ds = \sqrt{1+2^2}\,dx = \sqrt{5}\,dx.
Então
A_x = 2\pi\int_{0}^{2}y\,ds = 2\pi\int_{0}^{2}(2x)\,\bigl(\sqrt{5}\,dx\bigr) = 2\pi\sqrt{5}\int_{0}^{2}2x\,dx =4\pi\sqrt{5}\int_{0}^{2}x\,dx.
Como \displaystyle\int_{0}^{2}x\,dx = \bigl[x^2/2\bigr]_{0}^{2}=2, segue
A_x = 4\pi\sqrt{5}\cdot2 = 8\pi\sqrt{5}.

Passo 3

Calcular A_y. Mantendo ds=\sqrt{5}\,dx, temos
A_y = 2\pi\int_{0}^{2}x\,ds = 2\pi\int_{0}^{2}x\,\bigl(\sqrt{5}\,dx\bigr) = 2\pi\sqrt{5}\int_{0}^{2}x\,dx = 2\pi\sqrt{5}\cdot2 = 4\pi\sqrt{5}.

Passo 4

Verificação geométrica: ao revolver o segmento de (0,0) a (2,4) em torno de OX forma-se um cone de altura h=2 e raio da base r=4. A geratriz vale s=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}, e a área lateral é
\pi r\,s = \pi\cdot4\cdot2\sqrt{5} = 8\pi\sqrt{5},
confirma A_x. Ao revolver em torno de OY forma-se um cone de altura h=4 e raio r=2, mesma geratriz 2\sqrt{5}, cuja área lateral é
\pi r\,s = \pi\cdot2\cdot2\sqrt{5} = 4\pi\sqrt{5},
confirma A_y.

Resposta

Área ao redor de OX: 8\pi\sqrt{5}.
Área ao redor de OY: 4\pi\sqrt{5}.

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