Ache dois números positivos cujo produto é 16 e cuja soma é mínima.
Passo 1
O problema pede que encontremos dois números positivos
e
tais que o produto deles seja
e, entre todas as opções, a soma
seja mínima. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, e podemos usar cálculo (derivadas) para transformar em um problema de variável única.
Passo 2
Como há a restrição
, podemos isolar
em função de
:
Assim, a soma vira função de
:
Passo 3
Para achar o mínimo de
em
, calculamos a derivada:
Em seguida, igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
(Descartamos
pois queremos
.)
Passo 4
Verificamos que esse ponto é de mínimo conferindo a segunda derivada:
Como para
temos
, concluímos que
dá um mínimo local (e é global, pois a soma cresce para
e
).
Passo 5
Finalmente, obtemos
e a soma mínima é
Resposta
Os dois números são
e
, e a soma mínima vale
.