Ache dois números positivos cujo produto é 16 e cuja soma é mínima.

Passo 1

O problema pede que encontremos dois números positivos x e y tais que o produto deles seja 16 e, entre todas as opções, a soma S = x + y seja mínima. O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição, e podemos usar cálculo (derivadas) para transformar em um problema de variável única.

Passo 2

Como há a restrição xy = 16, podemos isolar y em função de x:
y = 16x, x>0
Assim, a soma vira função de x:
S(x) = x + y = x + 16x

Passo 3

Para achar o mínimo de S(x) em x>0, calculamos a derivada:
S'(x) = 1 - 16x^2
Em seguida, igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
1 - 16x^2 = 0 Longrightarrow 16x^2 = 1 Longrightarrow x^2 = 16 Longrightarrow x = 4
(Descartamos x=-4 pois queremos x>0.)

Passo 4

Verificamos que esse ponto é de mínimo conferindo a segunda derivada:
S''(x) = 32x^3
Como para x>0 temos S''(x)>0, concluímos que x=4 dá um mínimo local (e é global, pois a soma cresce para xto0^+ e xto+infty).

Passo 5

Finalmente, obtemos
x = 4, y = 164 = 4,
e a soma mínima é
Smin = 4 + 4 = 8

Resposta

Os dois números são 4 e 4, e a soma mínima vale 8.

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