Ache o valor de a que faz y=x^3-a x^2+1 ter um ponto de inflexão em x=1.

Passo 1

O enunciado pede o valor de a para que a curva definida por
y = x^3 - a x^2 + 1
tenha um ponto de inflexão em x=1. O conteúdo é cálculo de concavidade: usamos a segunda derivada para identificar ponto de inflexão.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada, que dá a inclinação da curva:
y' = ddxl(x^3 - a x^2 + 1r) = 3x^2 - 2a x

Passo 3

Calculamos a segunda derivada, que indica a concavidade:
y'' = ddxl(3x^2 - 2a xr) = 6x - 2a

Passo 4

Para ter ponto de inflexão em x=1, precisamos de y''(1)=0:
y''(1) = 6cdot1 - 2a = 0 Longrightarrow 6 - 2a = 0 Longrightarrow a = 3

Passo 5

Como y''(x)=6x-2a é uma função linear com coeficiente positivo, ela muda de sinal ao passar por x=1. Logo, em x=1 ocorre realmente mudança de concavidade, confirmando ponto de inflexão.

Resposta

a = 3

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