(AFA-19) Pela legislaçào brasileira, atualmente, os ditos “Jogos de Azar” estão proibidos. Tais jogos são, na maioria das vezes, sustentados pelas perdas dos jogadores que financiam os que vão ter sorte. Esses jogos têm por condição de existência que, na diferença entre as probabilidades de sorte e azar, predomine o azar. Ainda que proibidos, bancas de alguns desses jogos são comumente encontradas em festas
populares Brasil afora. Exemplo desses jogos é aquele cm que o jogador tem 1 bolinha para lançar sobre uma rampa. levemente inclinada, e deverá acertar uma das “casinhas” numeradas de 1 a 6 . Geralmente, o dono da banca de jogo impõe condições para que o jogador ganhe um prémio. Suponha que uma condição de sorte seja, desconsiderando quaisquer outras influências, lançar a bolinha três vezes sucessivas de modo que, ao final dos très lançamentos, seja observado que a soma dos números das casinhas é igual a 12. Desse modo, a probabilidade de se ter sorte nesse jogo é
a) menor que 3 \%
b) maior que 8 \% e menor que 10 \%
c) maior que 11 \% e menor que 13 \%

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, lançando-se uma bolinha três vezes sobre uma rampa com “casinhas” numeradas de 1 a 6 (como um dado com faces de 1 a 6), a soma dos três resultados seja igual a 12. O conteúdo é contagem em espaços amostrais discretos e uso de combinatória para contar soluções inteiras com restrições.

Passo 2

O número total de resultados possíveis, assumindo cada lançamento equiprovável em \{1,2,3,4,5,6\}, é
6^3 = 216.

Passo 3

Para contar as soluções inteiras positivas x_1,x_2,x_3\in\{1,\dots,6\} tais que
x_1 + x_2 + x_3 = 12,
fazemos:
  1. Sem a restrição superior x_i\le6, o número de soluções positivas de x_1+x_2+x_3=12 é dado por
\binom{12-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55.
  1. Agora excluímos as soluções em que algum x_i\ge7. Para, digamos, x_1\ge7, definimos y_1 = x_1 - 6\ge1 e mantemos x_2,x_3\ge1. A nova soma é
y_1 + x_2 + x_3 = 12 - 6 = 6,
cujo número de soluções positivas é
\binom{6-1}{3-1} = \binom{5}{2} = 10.
Como há 3 variáveis possíveis para violar o limite, excluímos 3\times10 = 30 casos.
  1. Logo, o número de soluções com 1\le x_i\le6 é
55 - 30 = 25.

Passo 4

A probabilidade de soma igual a 12 é
\frac{25}{216} \approx 0,1157\quad(\text{aprox. }11{,}57\%).

Passo 5

Comparando com as alternativas:
  • é maior que 11\% e menor que 13\%.

Resposta

(c) maior que 11\% e menor que 13\%.

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