Quais das afirmações a seguir são verdadeiras se f(x, y) for diferenciável em ( x_{0}, y_{0} )? Justifique a sua resposta.
(a) Se \mathbf{u} for um vetor unitário, a derivada de f \mathrm{em}\left(x_{0}, y_{0}\right) na direçāo de u é \left(f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \mathbf{i}+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \mathbf{j}\right) \cdot \mathbf{u}.
(b) A derivada de fem ( x_{0}, y_{0} ) na direção de \mathbf{u} é um vetor.
(c) A derivada direcional de f em \left(x_{0}, y_{0}\right) tem seu maior valor na direção de \nabla f.
(d) \operatorname{Em}\left(x_{0}, y_{0}\right), o vetor \nabla f é normal à curva f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar quais afirmações são verdadeiras considerando que f(x,y) é diferenciável em (x_{0},y_{0}).
Para resolver, vamos usar conceitos de gradiente, derivada direcional, desigualdade de Cauchy–Schwarz e geometria de curvas de nível.

Passo 2

A derivada direcional de f em (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é, por definição,
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0}) =\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+hu_{1},\,y_{0}+hu_{2})-f(x_{0},y_{0})}{h}.
Como f é diferenciável, esse limite coincide com o produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}, ou seja,
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0}) =\bigl(f_{x}(x_{0},y_{0})\,\mathbf{i}+f_{y}(x_{0},y_{0})\,\mathbf{j}\bigr)\cdot\mathbf{u}.
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

A derivada direcional D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0}) é, como vimos, o valor do produto escalar \nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}. Isso é um número (escalar), não um vetor.
Portanto, a afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Como \mathbf{u} é unitário, temos por Cauchy–Schwarz
\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u} \le \|\nabla f(x_{0},y_{0})\|\;\|\mathbf{u}\| =\|\nabla f(x_{0},y_{0})\|,
e a igualdade ocorre se e somente se \mathbf{u} aponta na mesma direção de \nabla f(x_{0},y_{0}).
Logo, o valor máximo de D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0}) é \|\nabla f(x_{0},y_{0})\| e ocorre na direção de \nabla f.
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira.

Passo 5

A curva de nível passando por (x_{0},y_{0}) é dada por
f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).
Se \mathbf{t} é um vetor tangente a essa curva, então ao longo da curva f é constante, isto é, D_{\mathbf{t}}f(x_{0},y_{0})=0.
Mas D_{\mathbf{t}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{t}; para isso ser zero para todo vetor tangente \mathbf{t}, \nabla f(x_{0},y_{0}) deve ser ortogonal a toda direção tangente.
Logo, a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

(a), (c) e (d) são verdadeiras; (b) é falsa.

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