Quais das afirmações a seguir são verdadeiras se
for diferenciável em (
)? Justifique a sua resposta.
(a) Se
for um vetor unitário, a derivada de
na direçāo de u é
.
(b) A derivada de fem (
) na direção de
é um vetor.
(c) A derivada direcional de
em
tem seu maior valor na direção de
.
(d)
, o vetor
é normal à curva
.
(a) Se
(b) A derivada de fem (
(c) A derivada direcional de
(d)
Passo 1
O enunciado pede para determinar quais afirmações são verdadeiras considerando que
é diferenciável em
.
Para resolver, vamos usar conceitos de gradiente, derivada direcional, desigualdade de Cauchy–Schwarz e geometria de curvas de nível.
Para resolver, vamos usar conceitos de gradiente, derivada direcional, desigualdade de Cauchy–Schwarz e geometria de curvas de nível.
Passo 2
A derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
é, por definição,
Como
é diferenciável, esse limite coincide com o produto escalar entre o gradiente e
, ou seja,
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
A derivada direcional
é, como vimos, o valor do produto escalar
. Isso é um número (escalar), não um vetor.
Portanto, a afirmação (b) é falsa.
Portanto, a afirmação (b) é falsa.
Passo 4
Como
é unitário, temos por Cauchy–Schwarz
e a igualdade ocorre se e somente se
aponta na mesma direção de
.
Logo, o valor máximo de é
e ocorre na direção de
.
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira.
Logo, o valor máximo de
Portanto, a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 5
A curva de nível passando por
é dada por
Se
é um vetor tangente a essa curva, então ao longo da curva
é constante, isto é,
.
Mas ; para isso ser zero para todo vetor tangente
,
deve ser ortogonal a toda direção tangente.
Logo, a afirmação (d) é verdadeira.
Mas
Logo, a afirmação (d) é verdadeira.
Resposta
(a), (c) e (d) são verdadeiras; (b) é falsa.