26.13 Analise os casos LAL e LLL quando se resolve um triângulo oblíquo.
No caso LAL, são dados dois lados e o ângulo entre eles. Denote-os por
e
. Então, nenhuma das três razões na lei dos senos é conhecida a princípio, assim nenhuma informação pode ser obtida dessa lei. Da lei dos cossenos, porém, o terceiro lado
, pode ser determinado. Então, com os três lados e um ângulo conhecido, a lei dos senos pode ser usada para determinar um segundo ângulo. Se o menor dos dois ângulos desconhecidos (menor porque está oposto a um lado menor) é escolhido, esse ângulo deve ser agudo e, assim, existe apenas uma possibilidade. O terceiro ângulo segue imediatamente, uma vez que a soma dos três ângulos deve ser
.
No caso LLL, novamente nenhuma das três razões na lei dos senos é conhecida a princípio, assim nenhuma informação pode ser obtida dessa lei. Contudo, a lei dos cossenos pode ser utilizada para isolar o cosseno de um ângulo desconhecido resultando:
Se o ângulo oposto ao maior lado é calculado primeiro, o ângulo será obtuso se o seu cosseno for negativo e será agudo se for positivo. Em qualquer caso, os outros dois ângulos não podem ser obtusos e devem ser agudos. Por essa razão, o segundo ângulo pode ser encontrado da lei dos senos sem ambiguidade, uma vez que este ângulo deve ser agudo. O terceiro ângulo segue imediatamente já que a soma dos três ângulos deve ser
.
No caso LLL, novamente nenhuma das três razões na lei dos senos é conhecida a princípio, assim nenhuma informação pode ser obtida dessa lei. Contudo, a lei dos cossenos pode ser utilizada para isolar o cosseno de um ângulo desconhecido resultando:
Passo 1
O enunciado pede que a gente analise como resolver um triângulo oblíquo nos casos LAL (dois Lados e o Ângulo entre eles dados) e LLL (três Lados dados). O conteúdo principal que vamos usar é a lei dos cossenos para obter lados ou cossenos de ângulos e, depois, a lei dos senos para encontrar ângulos restantes, lembrando sempre que a soma interna dos ângulos de um triângulo é
.
Passo 2
No caso LAL, temos dados
,
e o ângulo
entre eles.
- Aplicamos a lei dos cossenos para calcular o terceiro lado
:
- Agora já conhecemos três lados e um ângulo (
), então usamos a lei dos senos para encontrar, por exemplo, o ângulo :
Como o problema exige escolher o menor dos dois possíveis valores de
, ele será agudo e não há ambiguidade.
3. Finalmente, o terceiro ângulo vem de
3. Finalmente, o terceiro ângulo
Passo 3
No caso LLL, temos apenas os três lados
,
e
.
- Usamos a lei dos cossenos para isolar o cosseno de cada ângulo. Por exemplo, para
:
Analogamente,
- Calculamos primeiro o ângulo oposto ao maior lado (digamos que seja
), pois o sinal de já indica se é agudo ( ) ou obtuso ( ). - Como em um triângulo só pode haver um ângulo obtuso, os outros dois serão agudos. Então escolhemos um deles (por exemplo
) e o determinamos pela lei dos senos sem ambiguidade:
- O último ângulo surge de
Resposta
Caso LAL: usa-se primeiro a lei dos cossenos para achar o terceiro lado
depois a lei dos senos para determinar um dos ângulos restantes (escolhendo a solução aguda) e, por fim,
soma dos dois já obtidos.
Caso LLL: aplica-se a lei dos cossenos para obter
,
e
, calcula-se logo o ângulo oposto ao maior lado (para identificar se é obtuso ou agudo), depois um dos outros ângulos pela lei dos senos (sem ambiguidade, pois será agudo) e, por último, o terceiro ângulo pela soma
.