26.13 Analise os casos LAL e LLL quando se resolve um triângulo oblíquo.
No caso LAL, são dados dois lados e o ângulo entre eles. Denote-os por a, b e gamma. Então, nenhuma das três razões na lei dos senos é conhecida a princípio, assim nenhuma informação pode ser obtida dessa lei. Da lei dos cossenos, porém, o terceiro lado c, pode ser determinado. Então, com os três lados e um ângulo conhecido, a lei dos senos pode ser usada para determinar um segundo ângulo. Se o menor dos dois ângulos desconhecidos (menor porque está oposto a um lado menor) é escolhido, esse ângulo deve ser agudo e, assim, existe apenas uma possibilidade. O terceiro ângulo segue imediatamente, uma vez que a soma dos três ângulos deve ser 180^circ.
No caso LLL, novamente nenhuma das três razões na lei dos senos é conhecida a princípio, assim nenhuma informação pode ser obtida dessa lei. Contudo, a lei dos cossenos pode ser utilizada para isolar o cosseno de um ângulo desconhecido resultando:
cos alpha=b^2+c^2-a^22 b c cos beta=a^2+c^2-b^22 a c cos gamma=a^2+b^2-c^22 a b
Se o ângulo oposto ao maior lado é calculado primeiro, o ângulo será obtuso se o seu cosseno for negativo e será agudo se for positivo. Em qualquer caso, os outros dois ângulos não podem ser obtusos e devem ser agudos. Por essa razão, o segundo ângulo pode ser encontrado da lei dos senos sem ambiguidade, uma vez que este ângulo deve ser agudo. O terceiro ângulo segue imediatamente já que a soma dos três ângulos deve ser 180^circ.

Passo 1

O enunciado pede que a gente analise como resolver um triângulo oblíquo nos casos LAL (dois Lados e o Ângulo entre eles dados) e LLL (três Lados dados). O conteúdo principal que vamos usar é a lei dos cossenos para obter lados ou cossenos de ângulos e, depois, a lei dos senos para encontrar ângulos restantes, lembrando sempre que a soma interna dos ângulos de um triângulo é 180^circ.

Passo 2

No caso LAL, temos dados a, b e o ângulo gamma entre eles.
  1. Aplicamos a lei dos cossenos para calcular o terceiro lado c:
c = raiza^2 + b^2 - 2,a,b,cosgamma
  1. Agora já conhecemos três lados e um ângulo ( gamma), então usamos a lei dos senos para encontrar, por exemplo, o ângulo alpha:
sin alphaa = sin gammac Longrightarrow alpha = arcsin!l(a,singammacr)
Como o problema exige escolher o menor dos dois possíveis valores de alpha, ele será agudo e não há ambiguidade.
3. Finalmente, o terceiro ângulo beta vem de
beta = 180^circ - gamma - alpha

Passo 3

No caso LLL, temos apenas os três lados a, b e c.
  1. Usamos a lei dos cossenos para isolar o cosseno de cada ângulo. Por exemplo, para alpha:
cosalpha = b^2 + c^2 - a^22,b,c
Analogamente,
cosbeta = a^2 + c^2 - b^22,a,c, cosgamma = a^2 + b^2 - c^22,a,b
  1. Calculamos primeiro o ângulo oposto ao maior lado (digamos que seja c), pois o sinal de cosgamma já indica se gamma é agudo ( cosgamma>0) ou obtuso ( cosgamma<0).
  2. Como em um triângulo só pode haver um ângulo obtuso, os outros dois serão agudos. Então escolhemos um deles (por exemplo alpha) e o determinamos pela lei dos senos sem ambiguidade:
sin alphaa = sin gammac Longrightarrow alpha = arcsin!l(a,singammacr)
  1. O último ângulo surge de
beta = 180^circ - gamma - alpha

Resposta

Caso LAL: usa-se primeiro a lei dos cossenos para achar o terceiro lado
c = raiza^2 + b^2 - 2abcosgamma,
depois a lei dos senos para determinar um dos ângulos restantes (escolhendo a solução aguda) e, por fim, 180^circ-soma dos dois já obtidos.
Caso LLL: aplica-se a lei dos cossenos para obter cosalpha, cosbeta e cosgamma, calcula-se logo o ângulo oposto ao maior lado (para identificar se é obtuso ou agudo), depois um dos outros ângulos pela lei dos senos (sem ambiguidade, pois será agudo) e, por último, o terceiro ângulo pela soma 180^circ.

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