Uma aula de matemática discreta contém um graduando em matemática que é um calouro, 12 matemáticos que são
veteranos, 15 cientistas da computação que são veteranos, 2 matemáticos que são juniores, 2 cientistas da computação que são juniores e 1 cientista da computação que é sênior. Expresse cada uma das proposições abaixo em termos de quantificadores e depois determine seu valor-verdade.
a) Há um estudante na sala que é júnior.
b) Todo estudante na sala é graduado em ciência da computação.
c) Há um estudante na sala que não é nem graduando em matemática nem júnior.
d) Todo estudante na sala é ou um veterano ou um graduando em ciência da computação.
e) Há um graduando, tal que existe um outro estudante na sala que em todo ano estudou com este graduando.
veteranos, 15 cientistas da computação que são veteranos, 2 matemáticos que são juniores, 2 cientistas da computação que são juniores e 1 cientista da computação que é sênior. Expresse cada uma das proposições abaixo em termos de quantificadores e depois determine seu valor-verdade.
a) Há um estudante na sala que é júnior.
b) Todo estudante na sala é graduado em ciência da computação.
c) Há um estudante na sala que não é nem graduando em matemática nem júnior.
d) Todo estudante na sala é ou um veterano ou um graduando em ciência da computação.
e) Há um graduando, tal que existe um outro estudante na sala que em todo ano estudou com este graduando.
Passo 1
O enunciado descreve uma turma de matemática discreta com 33 alunos, distribuídos em função do curso (matemática ou ciência da computação) e do nível (calouro, júnior, veterano ou sênior). Vamos formalizar cada afirmação usando lógica de predicados com quantificadores e depois avaliar se ela é verdadeira ou falsa, com base nos dados fornecidos.
Passo 2
Definimos o domínio
como “todos os estudantes na sala”. Introduzimos os seguintes predicados unários para
:
: “
é graduando em matemática”
: “
é graduando em ciência da computação”
: “
é calouro”
: “
é júnior”
: “
é veterano”
: “
é sênior”
Os números conhecidos são:
– 1 estudante com e
– 2 com e
– 12 com e
– 2 com e
– 15 com e
– 1 com e
– 1 estudante com
– 2 com
– 12 com
– 2 com
– 15 com
– 1 com
Passo 3
(a) “Há um estudante na sala que é júnior.”
Formalização:
Formalização:
Como existem 2 matemáticos juniores e 2 cientistas da computação juniores, essa afirmação é verdadeira.
Passo 4
(b) “Todo estudante na sala é graduado em ciência da computação.”
Formalização:
Formalização:
Há 1 calouro de matemática e 12 veteranos de matemática, logo nem todos são de ciência da computação. A afirmação é falsa.
Passo 5
(c) “Há um estudante na sala que não é nem graduando em matemática nem júnior.”
Formalização equivalente:
Formalização equivalente:
Por exemplo, o único sênior é de ciência da computação
e
, então esse estudante não é
nem
. A afirmação é verdadeira.
Passo 6
(d) “Todo estudante na sala é ou um veterano ou um graduando em ciência da computação.”
Formalização:
Formalização:
O calouro de matemática não é veterano nem de ciência da computação, portanto a afirmação é falsa.
Passo 7
(e) “Há um graduando, tal que existe um outro estudante na sala que em todo ano estudou com este graduando.”
Para expressar “estudou em todo ano com”, introduzimos um conjunto de anos e um predicado binário
: “
estudou com
no ano
”. A formalização é
Para expressar “estudou em todo ano com”, introduzimos um conjunto de anos
Não temos informação sobre quem estudou em quais anos, então não dá para determinar se existe tal par
. Logo o valor-verdade é indeterminado com os dados fornecidos.
Resposta
(a)
. Verdadeiro.
(b) . Falso.
(c) . Verdadeiro.
(d) . Falso.
(e) . Indeterminado.
(b)
(c)
(d)
(e)