Uma aula de matemática discreta contém um graduando em matemática que é um calouro, 12 matemáticos que são
veteranos, 15 cientistas da computação que são veteranos, 2 matemáticos que são juniores, 2 cientistas da computação que são juniores e 1 cientista da computação que é sênior. Expresse cada uma das proposições abaixo em termos de quantificadores e depois determine seu valor-verdade.
a) Há um estudante na sala que é júnior.
b) Todo estudante na sala é graduado em ciência da computação.
c) Há um estudante na sala que não é nem graduando em matemática nem júnior.
d) Todo estudante na sala é ou um veterano ou um graduando em ciência da computação.
e) Há um graduando, tal que existe um outro estudante na sala que em todo ano estudou com este graduando.

Passo 1

O enunciado descreve uma turma de matemática discreta com 33 alunos, distribuídos em função do curso (matemática ou ciência da computação) e do nível (calouro, júnior, veterano ou sênior). Vamos formalizar cada afirmação usando lógica de predicados com quantificadores e depois avaliar se ela é verdadeira ou falsa, com base nos dados fornecidos.

Passo 2

Definimos o domínio D como “todos os estudantes na sala”. Introduzimos os seguintes predicados unários para x\in D: \;M(x): “ x é graduando em matemática” \;C(x): “ x é graduando em ciência da computação” \;\text{Fresh}(x): “ x é calouro” \;\text{Junior}(x): “ x é júnior” \;\text{Veteran}(x): “ x é veterano” \;\text{Senior}(x): “ x é sênior”
Os números conhecidos são:
– 1 estudante com M(x) e \text{Fresh}(x)
– 2 com M(x) e \text{Junior}(x)
– 12 com M(x) e \text{Veteran}(x)
– 2 com C(x) e \text{Junior}(x)
– 15 com C(x) e \text{Veteran}(x)
– 1 com C(x) e \text{Senior}(x)

Passo 3

(a) “Há um estudante na sala que é júnior.”
Formalização:
\exists x\;\text{Junior}(x).
Como existem 2 matemáticos juniores e 2 cientistas da computação juniores, essa afirmação é verdadeira.

Passo 4

(b) “Todo estudante na sala é graduado em ciência da computação.”
Formalização:
\forall x\;C(x).
Há 1 calouro de matemática e 12 veteranos de matemática, logo nem todos são de ciência da computação. A afirmação é falsa.

Passo 5

(c) “Há um estudante na sala que não é nem graduando em matemática nem júnior.”
Formalização equivalente:
\exists x\;\bigl(\neg M(x)\wedge \neg\text{Junior}(x)\bigr).
Por exemplo, o único sênior é de ciência da computação C(x) e \text{Senior}(x), então esse estudante não é M nem \text{Junior}. A afirmação é verdadeira.

Passo 6

(d) “Todo estudante na sala é ou um veterano ou um graduando em ciência da computação.”
Formalização:
\forall x\;\bigl(\text{Veteran}(x)\vee C(x)\bigr).
O calouro de matemática não é veterano nem de ciência da computação, portanto a afirmação é falsa.

Passo 7

(e) “Há um graduando, tal que existe um outro estudante na sala que em todo ano estudou com este graduando.”
Para expressar “estudou em todo ano com”, introduzimos um conjunto de anos \mathcal{T} e um predicado binário \text{Studied}(y,x,t): “ y estudou com x no ano t”. A formalização é
\exists x\;\Bigl(\bigl(\exists y\,(y\neq x\wedge \forall t\in\mathcal{T}\,\text{Studied}(y,x,t))\bigr)\Bigr).
Não temos informação sobre quem estudou em quais anos, então não dá para determinar se existe tal par (x,y). Logo o valor-verdade é indeterminado com os dados fornecidos.

Resposta

(a) \exists x\;\text{Junior}(x). Verdadeiro.
(b) \forall x\;C(x). Falso.
(c) \exists x\;(\neg M(x)\wedge \neg\text{Junior}(x)). Verdadeiro.
(d) \forall x\;(\text{Veteran}(x)\vee C(x)). Falso.
(e) \exists x\,\exists y\,(y\neq x\wedge \forall t\in\mathcal{T}\,\text{Studied}(y,x,t)). Indeterminado.

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