Calcular integral0^1 e^-x^2 d x pela regra de Simpson (4-14), com n=1 e n=2.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^1e^-x^2,dx
usando a regra composta de Simpson. Esse método usa parabolas para aproximar o integrando em subintervalos igualmente espaçados. Se chamarmos de n o número de parabolas, então teremos 2n subintervalos de largura
h=b-a2n=1-02n=12n
A fórmula composta de Simpson fica
integral0^1f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4sumk=1^nf(x2k-1)+2sumk=1^n-1f(x2k)+f(x2n)r]
Aqui f(x)=e^-x^2. Vamos aplicar para n=1 e n=2.

Passo 2

Caso n=1:
h=12cdot1=0.5, x0=0,;x1=0,5,;x2=1
A aproximação de Simpson é
integral0^1e^-x^2dx approx h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] =0,53l[f(0)+4f(0,5)+f(1)r]
Calculando
f(0)=e^0=1, f(0,5)=e^-0,25approx0,7788, f(1)=e^-1approx0,3679,
temos
0,53l(1+4cdot0,7788+0,3679r) =0,53cdot4,4831 approx0,7472

Passo 3

Caso n=2:
h=12cdot2=0,25, x0=0,;x1=0,25,;x2=0,5,;x3=0,75,;x4=1
A fórmula composta dá
integral0^1e^-x^2dx approx h3l[f(x0)+4l(f(x1)+f(x3)r)+2f(x2)+f(x4)r]
Os valores são
f(0)=1, f(0,25)=e^-0,0625approx0,9394, f(0,5)approx0,7788,
f(0,75)=e^-0,5625approx0,5698, f(1)approx0,3679
Então
0,253l[1+4(0,9394+0,5698)+2cdot0,7788+0,3679r] =0,253cdot8,9623 approx0,7469

Passo 4

Concluímos as aproximações pela regra de Simpson:
n =1 to 0,7472
n =2 to 0,7469

Resposta

Para n=1, integral0^1e^-x^2dxapprox0,7472.
Para n=2, integral0^1e^-x^2dxapprox0,7469.

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