Esboçar o gráfico de y=sen x, 0 <=q x <=q pi / 2, com escalas iguais nos dois eixos. Em seguida, calcular a integral integral0^pi / 2 sen x d x usando a regra do re-
tângulo (4-4), com 4 subintervalos iguais e números x1^*, ldots, x4^* escolhidos de modo tal que, no gráfico, os quatro retângulos pareçam ser uma boa aproximação para a área correspondente. Comparar o resultado com o valor exato da integral.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de y=sin x em [0,pi/2], com escalas iguais nos eixos, e em seguida aproximar
integral0^pi/2sin x,dx
pela regra dos retângulos com 4 subintervalos iguais, escolhendo pontos x1^*,dots,x4^* de modo a obter uma boa aproximação no gráfico. Por fim, comparar com o valor exato.

Passo 2

Para esboçar y=sin x em [0,pi/2] note que é uma curva crescente que parte de sin0=0 e chega a sin(pi/2)=1. Com escalas iguais, ela forma uma “onda” suave e crescente do ponto (0,0) até (pi/2,1).

Passo 3

Dividimos o intervalo [0,pi/2] em 4 subintervalos de largura
De<a x=pi/2-04=pi8,
isto é,
[0,pi/8],;[pi/8,pi/4],;[pi/4,3pi/8],;[3pi/8,pi/2]

Passo 4

Para uma boa aproximação visual, escolhemos xi^* como o ponto médio de cada subintervalo:
xi^*=xi-1+xi2, i=1,2,3,4,
logo
x1^*=pi16,; x2^*=3pi16,; x3^*=5pi16,; x4^*=7pi16

Passo 5

A aproximação pela regra dos retângulos (método do ponto médio) é
integral0^pi/2sin x,dx approx sumi=1^4sin(xi^*),De<a x =pi8l(sin(tfracpi16)+sin(tfrac3pi16)+sin(tfrac5pi16)+sin(tfrac7pi16)r)
Numericamente,
sinl(tfracpi16r)approx0,1951,; sinl(tfrac3pi16r)approx0,5556,; sinl(tfrac5pi16r)approx0,8324,; sinl(tfrac7pi16r)approx0,9808,
soma 2,5639 e assim
pi8times2,5639approx1,007

Passo 6

O valor exato da integral é
integral0^pi/2sin x,dx =l[-cos xr]0^pi/2 =-cos(pi/2)+cos0 =0+1 =1

Passo 7

Comparando, a aproximação 1,007 fica muito próxima do valor exato 1, com erro menor que 1%.

Resposta

A integração por retângulos (ponto médio) com 4 subintervalos dá aproximadamente 1,007, enquanto o valor exato é 1.

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