Esboçar o gráfico de y=sen x, 0 <=q x <=q pi / 2, com escalas iguais nos dois eixos. Em seguida, calcular a integral integral0^pi / 2 sen x d x usando a regra do re-
tângulo (4-4), com 4 subintervalos iguais e números x1^*, ldots, x4^* escolhidos de modo tal que, no gráfico, os quatro retângulos pareçam ser uma boa aproximação para a área correspondente. Comparar o resultado com o valor exato da integral.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico de integral0^pi/2sin x,dx em , com escalas iguais nos eixos, e em seguida aproximar
pela regra dos retângulos com 4 subintervalos iguais, escolhendo pontos de modo a obter uma boa aproximação no gráfico. Por fim, comparar com o valor exato.

Passo 2

Para esboçar em note que é uma curva crescente que parte de e chega a . Com escalas iguais, ela forma uma “onda” suave e crescente do ponto até .

Passo 3

Dividimos o intervalo De em 4 subintervalos de largura
[0,pi/8],;[pi/8,pi/4],;[pi/4,3pi/8],;[3pi/8,pi/2]
isto é,

Passo 4

Para uma boa aproximação visual, escolhemos xi^*=xi-1+xi2, i=1,2,3,4, como o ponto médio de cada subintervalo:
x1^*=pi16,; x2^*=3pi16,; x3^*=5pi16,; x4^*=7pi16
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Passo 5

A aproximação pela regra dos retângulos (método do ponto médio) é
integral0^pi/2sin x,dx approx sumi=1^4sin(xi^*),De
Numericamente,
sinl(tfracpi16r)approx0,1951,; sinl(tfrac3pi16r)approx0,5556,; sinl(tfrac5pi16r)approx0,8324,; sinl(tfrac7pi16r)approx0,9808,
soma pi8times2,5639approx1,007 e assim

Passo 6

O valor exato da integral é
integral0^pi/2sin x,dx =l[-cos xr]0^pi/2 =-cos(pi/2)+cos0 =0+1 =1

Passo 7

Comparando, a aproximação fica muito próxima do valor exato , com erro menor que .

Resposta

A integração por retângulos (ponto médio) com 4 subintervalos dá aproximadamente , enquanto o valor exato é .

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