Calcular as seguintes integrais reiteradas:
\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1} \frac{x^{2} d y}{1+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\!\mathrm{d}x \int_{0}^{1}\frac{x^{2}\,\mathrm{d}y}{1+y^{2}}.
O conteúdo envolvido é a integração iterada (Teorema de Fubini) e a técnica de separar variáveis quando o integrando é produto de funções de x e y.

Passo 2

Começamos pela integral interna em y. Como x^{2} é constante em relação a y, temos
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{1+y^{2}}\,\mathrm{d}y = x^{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,\mathrm{d}y = x^{2}\bigl[\arctan(y)\bigr]_{0}^{1} = x^{2}\,\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}x^{2}\,\frac{\pi}{4}\,\mathrm{d}x =\frac{\pi}{4}\int_{0}^{1}x^{2}\,\mathrm{d}x =\frac{\pi}{4}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{3} =\frac{\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{12}

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