Calcule a área da superfície gerada, girando a cardióide
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície gerada ao girar a cardioide
em torno do eixo
.
Conteúdo: superfície de revolução em coordenadas polares.
Fórmula principal: se uma curva em parametrização gira em torno de
,
Conteúdo: superfície de revolução em coordenadas polares.
Fórmula principal: se uma curva em parametrização
onde
é o elemento de arco da curva.
Passo 2
Parametrizamos a curva em função de
:
Em coordenadas polares vale
Como a parte positiva de
(para
) e a negativa produzem a mesma superfície, basta calcular
Passo 3
Calculamos primeiro
Logo
Para
thetain[0,pi] ,
sin(theta/2)>=0 , então
Também escrevemos
Passo 4
Substituindo em
S=4piintegral0^piy,ds :
Fazemos a troca de variável
quando
theta:0topi então
u:0to1 . A integral vira