Calcule a área da superfície gerada, girando a cardióide r=a(1-cos theta) em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície gerada ao girar a cardioide
r = a,(1 - costheta)
em torno do eixo x.
Conteúdo: superfície de revolução em coordenadas polares.
Fórmula principal: se uma curva em parametrização (x(theta),y(theta)) gira em torno de x,
S = 2pi integral y,ds,
onde ds é o elemento de arco da curva.

Passo 2

Parametrizamos a curva em função de theta:
x(theta)=rcostheta = a,(1-costheta)costheta,
y(theta)=rsintheta = a,(1-costheta)sintheta
Em coordenadas polares vale
ds = raizr^2 + l(tfracdrdthetar)^2;dtheta
Como a parte positiva de y (para thetain[0,pi]) e a negativa produzem a mesma superfície, basta calcular
S = 2;gl[2piintegral0^piy(theta),dsgr] = 4piintegral0^piy(theta),ds

Passo 3

Calculamos primeiro
r = a(1-costheta), drdtheta=asintheta
Logo
ds = raiza^2(1-costheta)^2 + a^2sin^2theta;dtheta = araiz2-2costheta;dtheta =2al|sintfractheta2r|,dtheta
Para thetain[0,pi], sin(theta/2)>=0, então
ds = 2asintfractheta2,dtheta
Também escrevemos
y(theta)=a(1-costheta)sintheta =2asin^2tfractheta2cdot2sintfractheta2costfractheta2 =4asin^3tfractheta2costfractheta2

Passo 4

Substituindo em S=4piintegral0^piy,ds:
S =4piintegral0^pi l[4asin^3tfractheta2costfractheta2r] l[2asintfractheta2r] ,dtheta =32pi a^2integral0^pisin^4tfractheta2,costfractheta2,dtheta
Fazemos a troca de variável
u=sintfractheta2, du=tfrac12costfractheta2,dtheta,
quando theta:0topi então u:0to1. A integral vira
S =32pi a^2integralu=0^1u^4,(2,du) =64pi a^2integral0^1u^4,du =64pi a^2l[tfracu^55r]0^1 =tfrac645,pi,a^2

Resposta

S = 645,pi,a^2

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