1.1.3 Calcule as componentes de um vetor unitário que se encontra no plano x y e faz ângulos iguais com as direções positivas dos eixos x e y.

Passo 1

O enunciado pede um vetor unitário \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) que esteja no plano xy (logo com u_3=0) e faça ângulos iguais com as direções positivas dos eixos x e y. Vamos usar a relação entre componentes de um vetor unitário e os cossenos dos ângulos que ele forma com os eixos.

Passo 2

Se os ângulos com os eixos x e y são iguais, então
u_1 = \cos\alpha \quad\text{e}\quad u_2 = \cos\beta
com \alpha=\beta. Assim,
u_1 = u_2.
Como o vetor está no plano xy, temos também
u_3 = 0.

Passo 3

Como \mathbf{u} é unitário, sua norma satisfaz
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 1.
Substituindo u_2=u_1 e u_3=0, vem
2u_1^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad u_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para que os ângulos com os eixos positivos sejam agudos (cossenos positivos), escolhemos
u_1 = u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\mathbf{u} = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}},\,\frac{1}{\sqrt{2}},\,0\Bigr).

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