1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que galáxias distantes estão se afastando com uma velocidade proporcional à sua distância do local onde estamos na Terra. Para a i-ésima galáxia,
\mathbf{v}_{i}=H_{0} \mathbf{r}_{i},
tendo nós na origem. Mostre que esse afastamento das galáxias em relação a nós não implica que estamos no centro do universo. Especificamente, considere a galáxia em \mathbf{r}_{\mathbf{1}} uma nova origem e mostre que ainda assim a lei de Hubble é obedecida.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Hubble na forma vetorial, tomando a Terra como origem:
\mathbf{v}_{i} = H_{0} \, \mathbf{r}_{i},
onde \mathbf{r}_{i} é o vetor-posi\c{c}~{a}o da i-’{e}sima gal’{a}xia em rela\c{c}~{a}o a n’o s, e \mathbf{v}_{i} ‘{e} sua velocidade de afastamento. Queremos mostrar que, se passarmos a tomar a gal’{a}xia em \mathbf{r}_{1} como nova origem, a lei de Hubble continua v’alida na mesma forma, ou seja, que n~{a}o h’a um \u{c}entro privilegiado do universo.

Passo 2

Definimos, em relação à nova origem (galáxia 1), os vetores posição e velocidade observados por um “observador” situado em \mathbf{r}_{1}:
\mathbf{r}_{i}' = \mathbf{r}_{i} - \mathbf{r}_{1}, \quad \mathbf{v}_{i}' = \frac{d\mathbf{r}_{i}'}{dt}.
Como \mathbf{r}_{1} também muda no tempo, temos
\mathbf{v}_{i}' = \frac{d\mathbf{r}_{i}}{dt} \;-\;\frac{d\mathbf{r}_{1}}{dt} =\mathbf{v}_{i}-\mathbf{v}_{1}.

Passo 3

Aplicamos a lei de Hubble original a \mathbf{v}_{i} e \mathbf{v}_{1}:
\mathbf{v}_{i}' = H_{0}\,\mathbf{r}_{i} \;-\; H_{0}\,\mathbf{r}_{1} = H_{0}\,\bigl(\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{1}\bigr) = H_{0}\,\mathbf{r}_{i}'.
Portanto, vista da nova origem, a velocidade de afastamento da i-ésima galáxia continua proporcional à sua distância à nova origem.

Resposta

\mathbf{v}_{i}' = H_{0}\,\mathbf{r}_{i}'.
Isto mostra que a lei de Hubble é invariante por translação de origem e, portanto, não implica que estamos no “centro” do universo.

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