1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que galáxias distantes estão se afastando com uma velocidade proporcional à sua distância do local onde estamos na Terra. Para a
-ésima galáxia,
tendo nós na origem. Mostre que esse afastamento das galáxias em relação a nós não implica que estamos no centro do universo. Especificamente, considere a galáxia em
uma nova origem e mostre que ainda assim a lei de Hubble é obedecida.
Passo 1
O enunciado nos dá a lei de Hubble na forma vetorial, tomando a Terra como origem:
onde
é o vetor-posi\c{c}~{a}o da
-’{e}sima gal’{a}xia em rela\c{c}~{a}o a n’o s, e
‘{e} sua velocidade de afastamento. Queremos mostrar que, se passarmos a tomar a gal’{a}xia em
como nova origem, a lei de Hubble continua v’alida na mesma forma, ou seja, que n~{a}o h’a um \u{c}entro privilegiado do universo.
Passo 2
Definimos, em relação à nova origem (galáxia
), os vetores posição e velocidade observados por um “observador” situado em
:
Como
também muda no tempo, temos
Passo 3
Aplicamos a lei de Hubble original a
e
:
Portanto, vista da nova origem, a velocidade de afastamento da
-ésima galáxia continua proporcional à sua distância à nova origem.
Resposta
Isto mostra que a lei de Hubble é invariante por translação de origem e, portanto, não implica que estamos no “centro” do universo.