1.1.11 Lei de Hubble. Hubble descobriu que galáxias distantes estão se afastando com uma velocidade proporcional à sua distância do local onde estamos na Terra. Para a i-ésima galáxia,
vi=H0 ri,
tendo nós na origem. Mostre que esse afastamento das galáxias em relação a nós não implica que estamos no centro do universo. Especificamente, considere a galáxia em r1 uma nova origem e mostre que ainda assim a lei de Hubble é obedecida.

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Hubble na forma vetorial, tomando a Terra como origem:
vi = H0 , ri,
onde ri é o vetor-posi\c{c}~{a}o da i-’{e}sima gal’{a}xia em rela\c{c}~{a}o a n’o s, e vi ‘{e} sua velocidade de afastamento. Queremos mostrar que, se passarmos a tomar a gal’{a}xia em r1 como nova origem, a lei de Hubble continua v’alida na mesma forma, ou seja, que n~{a}o h’a um \u{c}entro privilegiado do universo.

Passo 2

Definimos, em relação à nova origem (galáxia 1), os vetores posição e velocidade observados por um “observador” situado em r1:
ri' = ri - r1, vi' = dri'dt
Como r1 também muda no tempo, temos
vi' = dridt ;-;dr1dt =vi-v1

Passo 3

Aplicamos a lei de Hubble original a vi e v1:
vi' = H0,ri ;-; H0,r1 = H0,l(ri-r1r) = H0,ri'
Portanto, vista da nova origem, a velocidade de afastamento da i-ésima galáxia continua proporcional à sua distância à nova origem.

Resposta

vi' = H0,ri'
Isto mostra que a lei de Hubble é invariante por translação de origem e, portanto, não implica que estamos no “centro” do universo.

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