Calcule
∫∫∫𝐵 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+4𝑦2 ≤ 1,0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{B}y\,dx\,dy\,dz
onde
B = \{(x,y,z)\mid x^{2}+4y^{2}\le1,\;0\le z\le1\}.
O conteúdo é integração em coordenadas cartesianas e vamos usar a simetria do domínio para simplificar.

Passo 2

Podemos fatorar a integral em z e em (x,y):
\iiint_{B}y\,dV =\int_{z=0}^{1}\Bigl[\iint_{D}y\,dx\,dy\Bigr]dz,
sendo
D=\{(x,y)\mid x^{2}+4y^{2}\le1\}.

Passo 3

Note que o domínio D no plano xy é um elipse centrada na origem e simétrico em relação ao eixo x e ao eixo y. Como y é função ímpar em y, temos
\iint_{D}y\,dx\,dy=0
por cancelamento entre y>0 e y<0.

Passo 4

Logo, a integral em z fica
\int_{0}^{1}0\,dz=0.

Resposta

0

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