Calcule
∫∫∫𝐵 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+4𝑦2 ≤ 1,0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
∫∫∫𝐵 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, em que 𝐵 é o conjunto 𝑥2+4𝑦2 ≤ 1,0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
O conteúdo é integração em coordenadas cartesianas e vamos usar a simetria do domínio para simplificar.
Passo 2
Podemos fatorar a integral em
e em
:
sendo
Passo 3
Note que o domínio
no plano
é um elipse centrada na origem e simétrico em relação ao eixo
e ao eixo
. Como
é função ímpar em
, temos
por cancelamento entre
e
.
Passo 4
Logo, a integral em
fica